算法案例辗转相除法(第一课时)1、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数2、求8251和6105的最大公约数25（1）5535749（2）77639所以，25和35的最大公约数为5所以，49和63的最大公约数为7辗转相除法（欧几里得算法）观察求8251和6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。辗转相处法两个重要定理一般定理：如果a是任一整数而b是任一大于零的整数，则我们总能找到一整数q，使a=bq+r，这里r是满足不等式0≤r=b)两个整数，求最大公因子d。根据上边给的定理，可以将a写成a=bq+r辗转相除法是告诉我们：(a,b)=(b,r)即a和b的最大公因数和b和r（r是a除以b的余数）的最大公因数是相等的。为什么为什么(a,b)=(b,r)?(a,b)=(b,r)?原理：a=bq+r对于任意同时整除a和b的数u，有a=su，b=tu，因为r=a-bq=su-qtu=(s-qt)u。故它也能整除r，反过来每一个整除b和r的整数v，有b=s‘v,r=t’v因为a=bq+r=s‘vq+t’v=(s‘q+t’)v.故它也能整除a，因此a和b的每一个公因子同时也是b和r的一个公因子，反之亦然。这样由于a和b的全体公因子集合与b和r的全体公因子集合相同，所以a和b的最大公因子必须等于b和r的最大公因子，这就证明了(a,b)=(b,r)。完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数思考：你能把辗转相除法编成程序吗？算法2：第一步：任意给定两个正整数，大的数记为m，小的记为n；第二步：用m除以n，求得余数r；第三步：判断r是否为0，若r=0，则输出n，若r≠0，则令m=n，n=r，再返回第二步.算法1：第一步：任意给定两个正整数；第二步：用两数中较大那个除以较小那个，求得商和余数；第三步：比较上一步的余数与除数的大小关系，继续用较大数除以较小数，并一直重复上述步骤直到余数为0，则此时的除数即为所求.辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否开始输入m,nr=mMODnm=nn=rr=0?否是输出m结束程序：INUPUm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND算法2：开始输入m,nm
