概率论数学期望VIP免费

正如故乡是用来怀念的，青春就是用来追忆的，当你怀揣着它时，它一文不值，只有将它耗尽后，再回过头看，一切才有了意义——爱过我们的人和伤害过我们的人，都是我们青春存在的意义。——致青春契比雪夫不等式证明.}{,,)(,)(222成立不等式则对于任意正数方差具有数学期望设随机变量定理εσεμXPεσXDμXEX取连续型随机变量的情况来证明.则有的概率密度为设),(xfX切比雪夫不等式.}{22εσεμXPxxfμxεd)()(122.122σεxxfεμxεμxd)(2222}{εσεμXP.1}{22εσεμXP得}{εμXPεμxxxfd)(xxxfμxεd)()(122切比雪夫不等式的两种等价形式切比雪夫不等式的两种等价形式22{||}{||}1DXPXEXDXPXEX切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。从切比雪夫不等式还可以看出,对于给定的>0,当方差越小时，事件{|X-E(X)|≥}发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量．当D(X)已知时，切贝雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于的概率的估计值．切比雪夫不等式的用途：（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10，试估计及格率至少为多少？用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X)=80，方差D(X)=100，所以P{60X100}=P{|X–80|≤20}%7575.0)20(10012所以及格率至少为75%．已知n重伯努利试验中参数p=0.75，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90？设需做n次试验，其中成功的次数为X，则X～B(n，p)，E(X)=np，D(X)=np(1–p)。因为}76.074.0{nXP}01.0|75.0{|nXP根据契比谢夫不等式应有2201.0)1(11pnpn201.0)(1}76.074.0{nXDnXP解得201.01.0)1(ppn1875001.01.025.075.0290.0定义：若存在常数a,使对于任何依概率收敛则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a,01}{limaXPnn有记：aXPn如意思是:当a意思是:时,Xn落在内的概率越来越大.,当n(,)aa00,nnnaa00,n0nnaXPnnX1}{limaXPnn而aXnaXnaXnnlim404820480.5069204810610.51811200060190.501624000120120.500580640396990.4923Annn皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊蒲丰蒲丰德德··摩摩根根实验者实验者罗曼诺夫斯基罗曼诺夫斯基AnnXn:发生的频率为发生的频率为A则则{}A正面朝上正面朝上““抛硬币”试验抛硬币”试验将一枚硬币连续抛次将一枚硬币连续抛次n,,记记(1,2,)AnnXnn0.5()nXn是随机变量列是随机变量列1{}nnX次试验中次试验中AnnA11121324353637384941051161261371471571620214048......正面朝上正面朝上正面朝上正面朝上反面朝上反面朝上反面朝上反面朝上发生的次数发生的次数例例22测量一个长度测量一个长度aa的物体的物体,,一次测量的结一次测量的结果不见得就等于果不见得就等于a,a,量了若干次量了若干次,,其算术平均值其算术平均值仍不见得等于仍不见得等于a,a,但当测量的次数很多时但当测量的次数很多时,,算术算术平均值接近于平均值接近于aa几乎是必然的几乎是必然的..例1掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现1点的概率是1/6,在掷的次数比较少时,出现1点的频率可能与1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现1点的频率接近1/6几乎是必然的.这两个例子说明:在大量随机现象中在大量随机现象中,,不仅看到了不仅看到了随机事随机事件的频率具有稳定性件的频率具有稳定性,,而且还看到而且还看到大量测量大量测量值的平均结果也具有稳定性。值的平均结果也具有稳定性。大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性.（（伯努利大数定律伯努利大数定律））设是次独立重复试设是次独立重复试Annlim{||}0AnnPpn...