【数学精品】版《6年高考4年模拟》第三节函数、方程及其应用第一部分六年高考荟萃年高考题1.[·北京卷]某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图1－6所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为()图1－6A．5B．7C．9D．11答案：C[解析]本题考查利用函数图像识别函数值的变化趋势，也就是函数增减速度的快慢．法一：因为随着n的增大，Sn在增大，要使取得最大值，只要让随着n的增大Sn＋1－Sn的值超过(平均变化)的加入即可，Sn＋1－Sn的值不超过(平均变化)的舍去，由图像可知，6,7,8,9这几年的改变量较大，所以应该加入，到第10,11年的时候，改变量明显变小，所以不应该加入，故答案为C.法二：假设是取的最大值，所以只要>即可，也就是>，即可以看作点Qm(m，Sm)与O(0,0)连线的斜率大于点Qm＋1(m＋1，Sm＋1)与O(0,0)连线的斜率，所以观察可知到第Q9(9，S9)与O(0,0)连线的斜率开始大于点Q10(10，S10)与O(0,0)连线的斜率．答案为C.2.[·上海卷]海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图1－4.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y＝x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？解：(1)t＝0.5时，P的横坐标xP＝7t＝，代入抛物线方程y＝x2，得P的纵坐标yP＝3.由|AP|＝，得救援船速度的大小为海里/时．由tan∠OAP＝，得∠OAP＝arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度．(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)．由vt＝，整理得v2＝144＋337.因为t2≥＋2，当且仅当t＝1时等号成立．所以v2≥144×2＋337＝252，即v≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．3.[·北京卷]已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(∞－，－1]上的最大值．解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.a>0时，h(x)与h′(x)的情况如下：x－－h′(x)＋0－0＋h(x)所以函数h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.≥当－－1，即0
6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增，又因h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2>0，所以h(x)在区间(∞－，－1]上的最大值为h＝1.4.[·浙江卷]已知a>0，b∈R，函数f(x)＝4ax3－2bx－a＋b.(1)证明：当0≤x≤1时，(i)函数f(x)的最大值为|2a－b|＋a；(ii)f(x)＋|2a－b|＋a≥0；(2)若－1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立，求a＋b的取值范围．解：(1)(i)f′(x)＝12ax2－2b＝12a.当b≤0时，有f′(x)≥0，此时f(x)在[0∞，＋)上单调递增．当b＞0时，f′(x)＝12a.此时f(x)在上单调递减，在上单调递增．所以当0≤x≤1时，f(x)max＝max{f(0)，f(1)}＝max{－a＋b,3a－b}＝＝|2a－b|＋a.(ii)由于0≤x≤1，故当b≤2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)＋3a－b＝4ax3－2bx＋2a≥4ax3－4ax＋2a＝2a(2x3－2x＋1)．当b＞2a时，f(x)＋|2a－b|＋a＝f(x)－a＋b＝4ax3＋2b(1－x)－2a＞4ax3＋4a(1－x)－2a＝2a(2x3－2x＋1)．设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则g′(x)＝6x2－2＝6，于是x01g′(x)－0＋g(x)1减极小值增1所以，g(x)min＝g＝1－＞0.所以当0≤x≤1时，2x...
