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第三章例题剖析1一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是ILH22，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。（1）转子绕一固定轴转动（2）转子绕一固定点转动[解]：（1）iLz?能量的本征方程：)()(?EH，or)()(2222EI引入222IE由波函数的单值性)()2(InEn222，inAe其中21A（2）ILH2??2，在球极坐标系中体系的能量算符本征方程：),(),(?EH其中22IE，以上方程在0的区域内存在有限解的条件是必须取)1(ll，),2,1,0(l，即)1(ll,2,1,0l于是方程的形式又可写成此方程是球面方程，其解为由)1(ll及IE2，可解得体系的的能量本征值2氢原子处于32121113,,,,,,44rrr状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（4）角动量的z分量有无确定值？如果有，求其确定值。解：（1）求归一化波函数（2）能量无确定值可能取值：443222,188sseeEE概率：2232131010CC平均值：4223322217144seECECE（3）角动量平方无确定值可能取值：22221111概率：2232131010CC平均值：2222222112625LCC（4）有确定值。其值为。3．求粒子处在态lmY时角动量的x分量和角动量y分量的平均值yxLL,；并证明：[解](方法一)：（1）先证明两个普遍的关系：可以用两种方法来证明。（a）从角动量算符L?所满足的对易关系出发：或zxyyxxyzzyyzxxzLiLLLLLiLLLLLLLLL???????????????由一式与二式乘i后相加减可得：或)?)(??()??(?zyxyxzLLiLLiLL用算符)??(?yxzLiLL对lmY运算得：另外，注意到2?L和zyxLLL?,?,?均可对易，故有：所以lmyxlmyxlmyxYLiLllYLLiLYLiLL)??()1(?)??()??(?222从上面二式可见lmyxYLiL)??(既是zL?的本征函数，本征值为)1(m，又是2?L的本征函数，本征值为2)1(ll，亦即lmyxYLiL)??(，具有1,mlY的形式。令1,)??(mllmyxYCYLiL它的共轭复式是1)??(****lmlmyxYCYLiL二式相乘，对,积分，再注意到mlY,的正交性，得：（b）用直接求微分的方法证明而immllmePmllmlY)(cos)!(4)12()!(；其中)(cos)(cossin)(coslmmmmlpddp故)(cos)(coscossin)??(1lmmmlmyxpddmyLiL同样，对yxLiL??也有其中)(cos)(coscos2)(cos)(cossin112lmmlmmpddmpdd可证明如下：因为勒襄德多项式)()(cosllpp满足方程对上式求微商1m次后得到或0)1()1(2)1(11111112lmmmmmlmlmmpddllpddmmdpdmpdd故有lmmmlmlmmpddmlmldpdmpdd11112)1)((2)1(（2）现在来求xL和yL注意到lmY的正交性，亦即令ddYLiLYiLLlmyxlmyxsin)??(*同理可知0yxiLL故00yxLL（3）lmyxlmyxxlmxYLiLYLiLLYL)??(21)??(21??2lmmlYmlmlYmlmlmlml)1)((21)1)(2(21)1)((22,22,2)2)(1(21)1)((21)1)((2mllmYmlmlYmlmlmlml注意到lmY的正交性，得：同理可证：)(22222mllLy故)(2)(22222mllLLLxxx(方法二)：在固定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时角不变，唯一的改变是变为，注意到x和y的对称性，不难由yxLL?,?在球坐标中的算符表示式看出22yxLL而0yxLL讨论：①为了证明0;0yxLL，我们还可以用下面两种简单方法：（a）设),(lmY为zL?的本征态，则有而xyzzyLiLLLL?????故dYLLYdYLLiLLLLiLlmyzlmlmzylmyzzyx????1????1**同理，因为yzxxzLiLLLL?????，可以证明0yL（b）利用测不准来证明0,0yxLL令xyyLCLBLA??,??,??则显然BA?,?都是厄密算符，BA?,?的对易关系为：就是角动量分量之间所必须满足的对易关系利用4)()(222CBA得出由于态),(lmY是zL?的本征态，在本征态中测量力学量zL有确定值，即力学量zL在),(lmY态在平均平方偏差2)(zL必须为零。故有0)(2zL要保证不等式4)()()(2222xzyLLL成立，考虑到2)(xL为非负的数，所以必须是0xL。同理，只须利用yzxxzLiLLLL?????，也可以证明0yL②在(方法二)中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明22yxLL注意到yzzyxLLLLLi?????即)????(1?yzzyxLLLLiL左乘xL?得：)??????(1?2yzxzyxxLLLLLLiL利用)????(1?zxxzyLLLLiL右乘yL?得：)??????(1?2yzxyxzyLLLLLLiL比较2xL和2yL可见，22yxLL。再利用0yxLL，按照方法二的讨论，很容易证明。