1/13年全国初中数学联赛试卷第一试一、选择题本题共有个小题，每一个小题都给出了以（）、（）、（）、（）为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确的答案用代号填在各小题的括号内。．已知553a，444b，335c则有（）（）cba；（）abc；（）bac；（）bca．方程组2363yzxzyzxy的正整数解的组数是（）（）；（）；（）；（）．如果方程0)2)(1(2mxxx的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数的取值范围是（）（）10m；（）43m；（）143m；（）143m．如果边长顺次为，，和的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（）（）π（）π（）π（）π．是圆的一条弦，是圆的直径，且与弦相交，记OABDABCABSNSSM2.||，则（）（）NM；（）；（）NM（），的大小关系不确定．设实数，满足不等式|||||)(|||baabaa（）（）0a且0b（）0a且0b（）0a且0b（）0a且0b二、填空题1．在，，，⋯，这个数中，十位数字为奇数的数共有个。2．已知α是方程0412xx的根，则234521的值等于。3．设x为正实数，则涵数xxxy12的最小值是。4．以线段为直径作一个半圆，圆心为，是半圆周上的点，·，则∠。第二试一、已知∠∠°，点在上，，过，，三点的圆交于（如图）。求证：为△的内心。二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点。试在二次函数2/135910102xxy的图像上找出满足||xy的所有整点（x，y）二、试证：每个大于的自然数都可表示为两个大于且互质的自然数之和。年全国初中数学联赛试卷答案第一试一、选择题．（）1111555243)3(3a，1111444256)3(4b，1111333125)5(5c，∴bac.．（）第二个方程可以改写为23)(zyx.因为≥,且是质数，故，，由此得，将此代入第一个方程得63)1)(23(xx，即040222xx.解之得21x,202x.因此，原方程组的两组解为：21x,211y,11z；202x,32y,12z.．（）因为022mxx有两根，故m44≥，得≤.原方程的三根为11x，mx112，mx113.显然，≤≤.注意到221xx3111xmm，由此得43m.．（）设为圆内接四边形，且，，，.圆内接四边形对角互补，故AC180.连接，由余弦定理（如图），3/13AADABADABBDcos2222CCDCBCDCBcos222即Acos60252602522Acos52392523922解得0)52396025(252396025cos2222A故BDA90为圆的直径.65602522BD.故圆周长为65.．（）如图，作ABDE于，ABCF于，延长交圆于，连接，因是直径，故DGC是直角，从而是矩形，GFDE.不妨设FGCF，作CGOH于，ABOL于，则是的中点，于是OLHFFCHFCHFGCF22.因此DABCABSSM2)(22FGCFABDEABCFABOABSOLAB2.．（）若满足题设的不等式.则有22)(baabaa，经化简整理得baabaa)(.由此知0a，0ba.从而aababa，上式仅当0a，0ba时成立，从而0ab二、填空题．在,⋯中，十位数字是奇数的只有1642，3662.两位数的平方可以表示为22220100)10(bababa，它的十位数的奇偶性与十位数字的奇偶性相同.因此，只能取与.即相邻的每个数中有两个数的十位数字是奇数.因此，题目给的个数中，十位数字是奇数的共有个.．)1)(1()1(123aaaaa,222345)1)(1(aaaaaaa. 满足等式0412aa，4/13∴1a，01a.所以22223453)1(11aaaaaaaaa20)41(1412.．1)1()1(11)1(222xxxxxxy.当时，2)1(x与2)1(xx同时取最小值，因此的最小值为.．°或°如图，因是直径，故90ACB，ABBCCABsin.由BCACOC2得BCOCOCAC.在ABC中，由正弦定理得OCCABACAOCsinsin21ABOCABBCBCOC.∴30AOC或150.在等腰OAC中，752180AOCCAB或15.第二试一、证明 BCAC，90ACB，∴45CBACAB. 四点共圆.∴45CAFCDF， 90CDE，∴CDFCDEEDFCDF45，即平分CDE. CDCA，∴CDACAD，又CADCFD180CDA1805/13CFA180CFB，45CBFCDF∴CDFCFDDCF180CBFCFB180BCF.即平分DCE.所以是CDE的内心.二、由≤，得10182xx≤，即182xx≤.当≥时，式为182xx≤，即18112xx≤，解得≤≤.对于上述区间内的整数值，当时，相应的为整数值.此时，满足条件的点有(),(),(),().当0x时，式为182xx≤，即1892xx≤，解得≤≤.对于上述区间内的整数值，当时，相应的为整数值.此时，满足条件的点有()().故满足条件的整点共有个.三、证明对分情况讨论.（）当为奇数时，设12kn(>为整数）.若，此时()由于1)1,(kk，上述表示符合要求.（）当为偶数时，设kn4或24k(>为整数).若kn4，此时)12(...
