13．4课题学习最短路径问题能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．一、创设情景，明确目标前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．以小见大：小狗为尽快吃上食物，它会沿怎样的路线奔跑过去？依据：两点之间线段最短师生活动：让学生反思思维过程二、合作探究，达成目标探究一：探索最短路径问题活动一：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？设计意图：让学生进一步体会前面解决问题的过程，找寻解决问题的方法活动二：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，就回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能解决这个问题吗？追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗答：(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地，再回到B地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？追问1：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？作法：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l交于点C.则点C即为所求．问题3你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′.即AC＋BC最短.小组讨论：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里的“C′”的作用是什么？反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．利用三角形的三边关系，若直线l上任意一点(与点C不重合)与A，B两点的距离和都大于AC＋BC，就说明AC＋BC最小.C′的代表的是除点C以外直线l上的任意一点．三．训练提升：1、如果一侧放着一些小木棍,小明要跑到一侧去取哪个位置的小木棍，再去捡哪个位置的球，才能最快跑到目的地A?你能说说为什么吗?四、总结梳理，内化目标1．本节课研究问题的基本过程是什么？2．轴对称在所研究问题中起什么作用布置作业1．上交作业教科书复习题13第15题2、拓展应用：如图，点P是马棚，ON为可供马食的小路，OM为可供饮水的小河，假设马棚、路、小河周围都很空旷（1）在前面问题的启发下，请提出一个最短路径有关的问题（2）解决（1）中你所提出的问题（3)能将（2）中的图形写出一道数学问题吗？板书设计：.13.4轴对称1、从点B到点A怎样走最短如何合理的思考？2、在l上找一点C，使得AC+BC最短同侧折线异侧折线点A、B在l异侧两点之间的线段3、在l上找一点C，使得AC+BC最短点A、B在l同侧.A.B转化
