课题：9．4直线和平面垂直(四)教学目的：1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明奎屯王新敞新疆2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直奎屯王新敞新疆教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1奎屯王新敞新疆直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）2奎屯王新敞新疆线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行奎屯王新敞新疆推理模式：奎屯王新敞新疆3奎屯王新敞新疆线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行奎屯王新敞新疆推理模式：奎屯王新敞新疆4奎屯王新敞新疆线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直奎屯王新敞新疆其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面奎屯王新敞新疆交点叫做垂足奎屯王新敞新疆直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α奎屯王新敞新疆5奎屯王新敞新疆直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面奎屯王新敞新疆6奎屯王新敞新疆直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行奎屯王新敞新疆7奎屯王新敞新疆三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直奎屯王新敞新疆说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：奎屯王新敞新疆8．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也用心爱心专心aPOAml和这条斜线的射影垂直奎屯王新敞新疆推理模式：．注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a奎屯王新敞新疆其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理奎屯王新敞新疆⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔，高，只有量角器和皮尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？解：在道路边取点，使与道路边所成的水平角等于，再在道路边取一点，使水平角，测得的距离等于， 是在平面上的射影，且∴（三垂线定理）因此斜线段的长度就是塔顶与道路的距离， ，∴，在中得，答：电塔顶与道路距离是．例2．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．证明：连结， ，且∴（三垂线定理逆定理）同理，∴为的垂心，∴，又 ，∴（三垂线定理）例3．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面上的射影，求证：不可能是的垂心．证明：假设是的垂心，连结，则， ∴是在平面内的射影，∴（三垂线定理）又 ，是在平面内的射影用心爱心专心ODCBAHCSBAABCPD∴（三垂线定理的逆定理）∴是直角三角形，此与“是锐角三角形”矛盾∴假设不成立，所以，不可能是的垂心奎屯王新敞新疆例4．已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：．证明：，是在面上的射影又 ，∴取中点，连结， ，∴为在面上的射影，又 正方形中，分别为的中点，∴，∴（三垂线定理）又 ，∴．四、课堂练习：1．如图，PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离．参考答案：设BC的中点为D，连结PD． AB＝AC＝13，BC＝10，∴AD⊥BC．且AD＝12．又 PA⊥平面ABC，∴PD⊥BC．即PD的长度就是P到直线BC的距离．而PD＝13．2．如图，是平面α的斜线，斜足是O，A是上任意一点，AB是平面α的垂线，B是垂足，设OD是平面α内与OB不同的一条直线，AC垂直于OD于C，若直线与平面α所成的角θ＝45°，∠BOC＝45°，求∠AOC的大小．参考答案：连结BC．用心爱心专心GFEDCBAD1C1B1A1ODABC中，有∠AOC＝60°．五、小结：我们学习...
