课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(二)教学目的：会用欧拉公式解决实际问题奎屯王新敞新疆教学重点：欧拉定理的应用奎屯王新敞新疆教学难点：在具体问题中会利用顶点V、面数F、棱数E的关系互化奎屯王新敞新疆授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面奎屯王新敞新疆如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体奎屯王新敞新疆说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体奎屯王新敞新疆2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体1220303．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令，叫欧拉示性数奎屯王新敞新疆说明：（1）简单多面体的欧拉示性数．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体奎屯王新敞新疆二、讲解范例：例1奎屯王新敞新疆由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种奎屯王新敞新疆证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公用心爱心专心共边，故多面体棱数（1）令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱奎屯王新敞新疆由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数（2）由（1）（2）得：，代入欧拉公式：．∴（3）， 又，，但，不能同时大于，（若，，则有，即这是不可能的）∴，中至少有一个等于．令，则，∴，∴，∴．同样若可得．例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家奎屯王新敞新疆是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体奎屯王新敞新疆这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目奎屯王新敞新疆解：设分子中有五边形个，六边形个奎屯王新敞新疆分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得：（1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得（2），由（1）（2）得：，∴分子中五边形有12个，六边形有20个奎屯王新敞新疆例3．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数奎屯王新敞新疆解：由题意设每一个面的边数为,则，∴， ，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,用心爱心专心则，得,即（1）, ，∴,又，∴的可能取值为，,,当或时（1）中无整数解；当,由（1）得,∴,∴，综上可知:，，.三、小结：欧拉定理的应用；会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题奎屯王新敞新疆四、课后作业：奎屯王新敞新疆⒈一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有下面的关系：F＝2V－4证明： ，V＋F－E＝2∴V＋F－＝2∴F＝2V－4⒉设一个凸多面体有V个顶点，求证：它的各面多边形的内角和为（V-2）·360°解：设此多面体的上底面有V上个顶点，下底面有V下个顶点将其下底面剪掉，抻成平面图形则V上·360°＋（V下－2）·180°＋（V下－2）·180°＝（V上＋V下－2）·360°＝（V－2）360°⒊有没有棱数是7的简单多面体？说明理由奎屯王新敞新疆证明： V＋F－E＝2，∴V＋F＝7＋2＝9 多面体的顶点数V≥4，面数F≥4∴只有两种情况V＝4，F＝5或V＝5，F＝4但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的简单多面体⒋是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边奎屯王新敞新疆证明：设有一个多面体，有F（奇数）个面，并且每个面的边数也都是奇数，则但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的奎屯王新敞新疆...
