高二数学下 12.6《双曲线的性质》教案（1） 沪教版VIP免费

12.6双曲线的性质一、教学内容分析本节的重点是双曲线性质的研究，通过双曲线的图像来研究双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线等内容.本节的难点是渐近线方程与双曲线方程之间的关系，以及渐近线与双曲线的位置关系.二、教学目标设计本节课主要采用类比的教学方法研究双曲线的基本性质，介绍等轴双曲线、共轭双曲线的概念及性质，讨论共渐近线的双曲线系方程，使学生加深对双曲线性质的理解，能利用这些性质解决实际问题.三、教学重点及难点重点：双曲线的性质.难点：双曲线的渐近线与双曲线的位置关系.四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习引入1．观察复习双曲线的定义、双曲线的标准方程（焦点位置）、标准方程中cba,,的意义（与椭圆对比）2．思考（类比椭圆）椭圆有哪些几何性质？[说明]讨论双曲线的几何性质与讨论椭圆的几何性质，方法是相同的，这部分的内容可以用心爱心专心渐近线的研究问题拓展:共渐近线的双曲线系方程等轴双曲线共轭双曲线小结概念辨析范围,顶点,对称性复习引入类比椭圆性质采用类比的教学方法，让学生根据研究椭圆性质的方法类比双曲线的性质，得到一些结论并加以研究.3．讨论研究双曲线几何性质，双曲线图形发展趋势怎样？二、学习新课1．概念辨析以双曲线标准方程12222byax，)0(222acbac为例进行说明.1．范围:观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧.从双曲线的方程如何验证？由标准方程可得22ax，当ax时，y才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.(结合图形)，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2aAaA，它们是双曲线12222byax的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段21AA叫做双曲线12222byax的实轴长，它的长是2a，a叫半实轴长而在方程中令x=0得22by，这个方程没有实数根，说明双曲线和y轴没有交点.但y轴上的两个特殊点bBbB,0),,0(21，在双曲线中也有非常重要的作用把线段21BB叫做双曲线的虚轴，它的长是2b，b叫做虚半轴长归纳：顶点：0,),0,(21aAaA特殊点：bBbB,0),,0(21实轴：21AA长为2a，a叫做半实轴长.用心爱心专心A2A1F2F1xOyxyQB1B2A1A2NMO虚轴：21BB长为2b，b叫做虚半轴长.注意：名称，不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，与椭圆的又一差异4．渐近线：经过2121BBAA、、、作x轴、y轴的平行线byax,，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为xaby.（1）定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点M沿曲线无限远离原点时，点M到该直线的距离无限接近于零，则这条直线叫这一曲线的渐近线；（2）直线xaby与双曲线12222byax在无穷远处是否相交？解：不失一般性，只研究双曲线在第一象限内的部分axaxaby,22与直线xaby的位置关系;设),(yxM是axaxaby,22上的点，),(YxN是直线xaby上与M有相同横坐标的点，则xabY,Yxabaxaby220，∴M在N的下方.∴yYMN22222222))((axxaxxaxxabaxabxab22axxab，是关于x的减函数，∴x无限增大时，MN无限趋近于0，而M到直线的距离MNd，∴x无限增大时，d也无限趋近于0，但永不相交.其他象限类似证明；用心爱心专心（3）求法：在方程12222byax中，令右边为零，则02222byax，得渐近线方程0))((byaxbyax即xaby；若方程为12222bxay，则渐近线方程为xbay.2．问题拓展（一）等轴双曲线1、定义：若a=b即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222ayx或222axy.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等价.3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22yx,当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上.例：等轴双曲...