高二数学（第26周）【教学内容】棱锥、多面体及其欧拉公式【教学目标】1、理解棱锥、正棱锥的概念，掌握一般棱锥的性质和正棱锥的性质，掌握正棱锥的直观图的画法，能分析、论证多面体内的线面关系，并用辅助直角三角形求得长度、角度，了解棱锥的侧面积与全面积概念及其计算，掌握棱锥的体积公式及应用。2、理解凸多面体、正多面体及简单多面体的概念，掌握欧拉公式的证明和简单应用。【知识讲解】一、棱锥1、棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2、一般棱锥的性质①底面是多边形②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和顶点到底面距离的比。截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方。3、正棱锥的概念底面是正多边形、顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。正棱锥在实际中应用较多，掌握正棱锥的定义必须把握上述两点，并且缺一不可。另外还应加深对正多边形中心的理解。对于正多边形，它的内心、外心、重心、垂心是重合的，重合后的点记为正多边形的中心。外心是多边形各边上垂直平分线的交点，到多边形各个顶点的距离相等，即外接圆半径；内心是多边形各内角平分线的交点，到多边形各边的距离相等，即内切圆半径；重心是多边形各边上中线的交点，把中线分为长度比为2∶1的两段；垂心是多边形各边高线的交点。只有正多边形才有中心。4、正棱锥的性质（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形，这两个重要的三角形可解决棱锥的绝大多数求值问题。5、正棱侧的侧面积公式正棱锥的底面周长是C，斜高是h＇，那么它的侧面积是，全面积等于侧面积与底面积之和。一般棱锥的侧面积可由各侧面面积相加而得。6、锥体的体积公式：如果一个锥体（棱锥，圆锥）的底面积是，高是，则它的体积是：．二、多面体1、多面体概念：若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫用心爱心专心1做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱,若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点。2、凸多面体概念：把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体。一个多面体至少有四个面。多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等。3、正多面体的概念：一般的，每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的图多面体，叫做正多面体。正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。4、简单多面体：在一种特定的连续变形中，表面能变成一个球面的多面体，叫做简单多面体。5、欧拉公式：简单多面体的面数、棱数和顶点数满足欧拉公式：【例题讲解】例1、若正六棱锥底面边长为a，侧棱与底面所成角为60°，求侧棱长与斜高。解：如图在正六棱锥S—ABCDEF中，过S作底面的垂线SO，连AO则O为正六边形ABCDEF的中心，AO为SA在底面上的射影。∴∠SAO=60°，∠SOA=90°，又OA=AB=a，∴SA=2a，过O作OM⊥AB于M，连SM，则OM为SM在底面上射影，由三垂线定理的SM⊥AB，∴SM为斜高，，∴在Rt△SMO中，。评述：正棱锥中有四个直角三角形，如本例中的Rt△SAO、Rt△SOM、Rt△SAM、Rt△AOM，它们把正棱锥的诸元素联系在一起，掌握四个直角三角形是解决正棱锥计算问题的关键。例2、已知正四棱锥的高为h，侧面等腰三角形的顶角为2θ，求棱锥的侧面积。分析：由正棱锥的侧面积公式知，，其中a为底面边长，h＇为斜高，故关键是求h＇和a。解：作PO⊥平面ABCD于O，则O为正方形ABCD的中心，连OB，过O作OE⊥BC于E，连PE，由三垂线定理得PE⊥BC，设PE=x，在Rt△PBE，∠BPE=θ，BE=xtgθ，在Rt△OBE中，∠OBE=45°∴OE=BE=xtgθ，在Rt△POE中，由勾腰定理得x2=h2+x2tg2θ,∴，例3、棱锥的底面积为150cm2，平行于底面的截面面积为54cm2，若底面和截面的距离为14cm，求...
