高二数学（下）复习讲义（1）线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD．(2)求BM与平面A1BD成的角的正切值．解：(1)连AC， C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．又AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．(2)设正方体的棱长为，连AD1，AD1交A1D于E，连结ME，在△D1AC1中，ME∥AC1， AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．连结BE，则∠MBE为BM与平面A1BD成的角．在中，，，∴．例2．如图，把等腰直角三角形ABC以斜边AB为轴旋转，使C点移动的距离等于AC时停止，并记为点P．（1）求证：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．证明（1）由题设知AP＝CP＝BP．∴点P在面ABC的射影D应是△ABC的外心，即D∈AB． PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．（2）解法1取PB中点E，连结CE、DE、CD． △BCP为正三角形，∴CE⊥BD．△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．设，则，，．例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图， 面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC． 面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC于FG． BE∥侧面AC，∴BE∥FG，四边形BEGF是，BE＝FG．∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD． ∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝90°，即DA⊥AC． CC⊥面ACB，由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°． CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：1．已知平面的一条斜线a与平面成角，直线b，且a,b异面，则a与b所成的角为（A）A．有最小值，有最大值B．无最小值，有最大值。C．有最小值，无最大值D．有最小值，有最大值。2．下列命题中正确的是（D）A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是（A）A．30B．20C．15D．124．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角是（C）A．30°B．45°C．60°D．90°5．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为，则它的侧棱与底面所成的角为6．A是△BCD所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.（Ⅰ）求证：AB⊥CD；（Ⅱ）求AB与平面BCD所成角的余弦值.7．正四面体ABCD中，E是AD边的中点，求：CE与底面BCD所成角的正弦值．解过A，E分别作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O为垂足，∴AH2OE，AH，OE确定平面AHD，连结OC，∠ECO即为所求． AB=AC=AD，∴HB=HC=HD ...
