《高中数学研究性学习案例》分组问题二项式定理多项式定理1．固定分组问题例1将12本不同的书分给甲、乙、丙、丁4位学生，求分别满足下列条件的分配方法各有多少种：（1）4位学生每人3本；（2）甲、乙各得4本，丙、丁各得2本；（3）甲得5本，乙得4本，丙得2本，丁得1本．解（1）先从12本书中选取3本分给甲，有种方法；当甲分得3本书后，从剩下的9本书中选取3本分给乙，有种方法；类似可得,丙、丁的分法分别有、种,由乘法原理得所求分法共有==369600种；（2）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为==207900；（3）与（1）的解法类似可得所求分配方法种数为用心爱心专心==83160．在例1中是将不同的书分给不同的学生，并且指定了每人分得的本数，我们称之为固定分组问题．我们将这个问题总结成如下一般定理：定理1将n个不同的元素分成带有编号从1，2，…，r的r个组：，，使得有n1个元素，有个元素，…，有个元素，，则不同的分组方法共有种．证明先从n个不同的元素中选取n1个分给，这一步有种方法；再从剩下的个元素中选取个分给，这一步有种方法；如此继续下去，最后剩下的个元素分给，有种方法，由乘法原理得这样的固定分组方法共有…=种．证毕．我们将定理1的分配问题简称为（）固定分组问题．用心爱心专心2．不尽相异元素的全排列多项式定理固定分组数有多种组合学意义，除了表示固定分组的方法数外，它还有以下两种表示意义：（1）不尽相异元素的全排列种数有r类元素，其中第k类元素有个（k=1，2，…，r），同类元素不加区分，不同类元素互不相同，。则这r类n个不尽相异元素的全排列种数等于固定分组数。．例2（06年高考江苏卷（理））今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）．解9个球排成一列要占9个位置，从9个位置中选取2个放红球，有种方法；再从其余7个位置中选取3个放黄球，有种方法；最后在剩下的4个位置上全放白球，有种方法，由乘法原理得所求的排列方法共有==1260种．评注：对于固定分组数，除了表示固定分组的用心爱心专心方法数外，它还表示r类共n个（不尽相异）元素的全排列数，其中第k类元素有个（k=1，2，…，r），同类元素不加区分，．（2）多项式定理的系数在的展开式中，项的系数等于固定分组数。例如在的展开式中，项的系数为=，这正是我们所熟悉的二项式系数。有如下的多项式定理：多项式定理设n是正整数，则对一切实数x1，x2，……，xr有（*）其中求和是对满足方程n1+n2+……nr=n的一切非负整数n1，n2，……，nt来求。因为r元方程n1+n2+……nr=n的非负整数共有组，所以在的展开式中共有个不同的项。用心爱心专心多项式定理是对二项式定理的推广，在多项式定理中令r=2就得到了二项式定理。例3写出的展开式中项与项的系数．解先求项的系数．是10个括号的连乘积，将这10个括号看成10个元素，从中先取出4个括号作为第一组，在每个括号中都取x；再从剩下的6个括号中取出3个作为第二组，在每个括号中都取y；再从剩下的3个括号中取出2个作为第三组，在每个括号中都取z；最后的剩下的1个括号作为第四组，从中取w．这样取出的4个x，3个y，2个z，1个w的连乘积就是项，由定理1知，上述取法就是（10；4，3，2，1）固定分组问题，于是在展开10个括号的连乘积时，项有=12600个同类项，所以此项的系数是12600．同理可得项的系数是=25200．用心爱心专心例4（94年全国高考题）有甲、乙、丙三项不同的任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从10人中选取4人担任这三项工作，有多少种不同的分配方法？解：从10人中选取4人，有对于取定的4人，让他们担任这三项工作，为（4；2，1，1）固定分组问题，故所求分配方法共有种．注：一般地，设有、、…，共r项不同的工作，工作需个人承担（，，现从个人中选取n个人做这r项工作（），则不同的分配工作方法共有种．例5（07年全国高考理2（必修+选修Ⅱ））从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（A）40种（B）60种（C）100种（D）120种用心爱心专心解从5人中选取4人...
