高中数学：3.1《函数与方程》教案（新人教A版必修1）VIP专享VIP免费

第9课时函数与方程1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标．2．函数与方程两个函数()yfx与()ygx图象交点的横坐标就是方程()()fxgx的解；反之，要求方程()()fxgx的解，也只要求函数()yfx与()ygx图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)mn，则必有()()0fmfn，再取区间的中点2mnp，再判断()()fpfm的正负号，若()()0fpfm，则根在区间(,)mp中；若()()0fpfm，则根在(,)pn中；若()0fp，则p即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．例1.（1）若xxxf1)(，则方程xxf)4(的根是()A．21B．－21C．2D．－2解：A．（2）设函数()fx对xR都满足(3)(3)fxfx,且方程()0fx恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（）A．0B．9C．12D．18解：由(3)(3)fxfx知()fx的图象有对称轴3x，方程()0fx的6个根在x轴上对应的点关于直线3x对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3tttttt，故6个根的和为18，答案为D．（3）已知155acb，（a、b、c∈R），则有（）A．acb42B．acb42C．acb42D．acb42解法一：：依题设有550abc∴5是实系数一元二次方程02cbxax的一个实根；∴△＝acb42≥0∴acb42，答案为B．解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510baacc10ac＋25ac＝20ac．∴acb42，答案为B．典型例题基础过关（4）关于x的方程22(28)160xmxm的两个实根1x、2x满足1232xx，则实数m的取值范围解：设22()(28)16fxxmxm，则239()3(4)160216fmm，即：241270mm，解得：1722m．（5）若对于任意[1,1]a，函数2()(4)42fxxaxa的值恒大于零,则x的取值范围是解：设2()(2)44gaxaxx，显然，2x则22(1)2440(1)2440gxxxgxxx，即3221xxxx或或，解得：x>3或x<1．变式训练1：当01x时，函数1yaxa的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（）A．12aB．1aC．112aa或D．112a解：D例2.设123,,xxx依次是方程12log2xx,2log(2)xx，22xx的实数根，试比较123,,xxx的大小．解：在同一坐标内作出函数2yx，12logyx，2xy的图象从图中可以看出，310xx又20x，故231xxx变式训练2：已知函数()()yfxxR满足(3)(1)fxfx，且x∈[－1,1]时，()||fxx，则()yfx与5logyx的图象交点的个数是()A．3B．4C．5D．6解：由(3)(1)fxfx知(2)()fxfx故()fx是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()yfx与5logyx的图象，可以看出，交点个数为4．例3.已知二次函数2()(,fxaxbxab为常数，且0)a满足条件：(1)(3)fxfx，且方程()2fxx有等根.（1）求()fx的解析式；（2）是否存在实数m、n()mn，使()fx定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.解：（1） 方程22axbxx有等根，∴2(2)0b，得b=2．由(1)(3)fxfx知此函数图象的对称轴方程为12bxa，得1a，故2()2fxxx．（2）2()(1)11fxx，∴4n1，即14n而抛物线22yxx的对称轴为1x∴14n时，()fx在［m，n］上为增函数.若满足题设条件的m，n存在，则nnfmmf4)(4)(，2020424222nnmmnnnmmm或或即又14mn，∴2,0mn，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.由以上知满足条件的m、n存在，2,0mn．变式训练3：已知函数11()fxax((0,0)ax.（1）求证：()fx在(0,+∞)上是增函数；（...