高中数学：2.2.1《双曲线的定义和标准方程》教案（2）湘教版选修1-1VIP免费

双曲线的定义和标准方程教学背景分析本小节是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“2120FFa”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，cba,,三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备[来源:学科网]教学过程设计一、复习回顾思考并回答下列问题1、椭圆的定义是什么？2、椭圆定义中有哪些注意点？3、椭圆的标准方程是怎样的？二、讲授新课[来源:学,科,网Z,X,X,K]1、概念引入问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差:12||||2PFPFa或21||||2PFPFa,即:12||||||2PFPFa，其中0a动点的轨迹会发生什么变化呢？①若21212FFaMFMF，则轨迹是线段21FF的延长线；若21122FFaMFMF，则轨迹是线段12FF的延长线；[来源:Z_xx_k.Com][来源:学|科|网Z|X|X|K]②若21212MFMFaFF，则无轨迹；③在1202||aFF条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.[说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现a2与21FF的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.2、概念形成双曲线定义定义：平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,FF叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||FF叫做焦距.双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21FF.（2）当12||||2PFPFa时，动点的轨迹是与2F对应的双曲线的一支，21||||2PFPFa时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设cFF221，取过点21FF、的直线为x轴，线段21FF的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则)0,(F)0,(21ccF、，设M是所求轨迹上的点.依已知条件有aMFMF221，221)(ycxMF，222)(ycxMF，22)(ycxaycx2)(22，[来源:学科网ZXXK]移项得：22)(ycx22)(2ycxa，平方得：222)()(ycxacxa（*）再平方得：)()(22222222caayaxca，即)()(22222222acayaxac，令)0(222bcacb则222222bayaxb，即12222byax反之：设M是12222byax上的点，则)1(2222axby，aacxacxxacaxbbccxxycxMF222222222222122)(222)(ycxMF=aacx，xaca,，[来源:学&科&网]∴当ax时，aacxMF1，aacxMF2，有aaacxaacxMFMF221；当ax时，aacxMF1，aacxMF2，有aaacxaacxMFMF221综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是12222byax①，其中)0(222acbac，焦点)0,(F)0,(21ccF、.同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在y轴上双曲线的标准方程是12222bxay，其中)0(222acbac，焦点),0(F),0(21ccF、.思考：将方程推导过程中的方程（*）做变形可得caxacycx222，即accaxycx222，且1ac，那么其中又蕴涵着怎样的几何意义呢？思考其几何意义可知，双曲线上的点满足到定点)0,(F2c的距离与到定直线cax2的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点),(yxP满足accaxycx22...