导数基本概念与公式1．导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即．2．导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率．因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为．3．导函数（导数）：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数．4．可导：如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导．5．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立．函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件．6．求函数的导数的一般方法：①求函数的改变量；②求平均变化率；③取极限，得导数＝．7．常见函数的导数公式：；；；．8．法则1．法则2,．法则3．9．复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且．10．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．11．对数函数的导数：；．12．指数函数的导数：；．13．函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数．14．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x)．②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间．③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间．15．极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点．16．极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点．17．极大值与极小值统称为极值．（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不用心爱心专心115号编辑是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．18．判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值．19．求函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．20．函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个．21．利用导数求函数的最值步骤：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值．用心爱心专心115号编辑
