高中数学复合函数的导数旧人教高中选修本（理）VIP免费

复合函数的导数教学重点和难点复合函数的求导公式是本节课的重点．复合函数概念和复合函数求导公式的推导方法是本节课的难点。教学过程一、复习提问求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y=(x2)3。(请一名学生板演，并将结果保留在黑板上，其余学生在座位上演算)解：(1)∵(3x－2)2=9x2－12x＋4，∴y'=(9x2－12x＋4)'=18x－12(1)(2)y'=[(x2)3]'=(x6)'=6x5(2)二、引入新课我们可以把复习提问第(1)题中的函数y＝(3x－2)2看成由y＝u，u=3x－2复合而成的，即y=u2=(3x-2)2。由于y对u的导数y'u=2u，u对x的导数u'x=3，因而有y'u'=2u*3=2(3x-2)*3=18x-12将(1)和(3)相比较有y'u'x=y'u*u'x(*)再看复习提问第(2)题中的函数y＝(x2)3，我们也可将它看成由y＝u3，u＝x2复合而成的函数，即y=u3=(x2)3．由于y'u=3u2，u'x=2x，因而有y'*u'x=3u2*2x=3*(x2)2*2x=6x5(4)将(2)和(4)相比较也有y'x=y'u*u'x(**)由此，我们可以得到以下两点启示：1.某些较复杂的函数y=F(x)，可以看成是由函数y=f(u)和函数u=φ(x)复合而成，即y=f[φ(x)]，我们称它为复合函数。其中u称为中间变量；(要对照前面两个具体例子加以解释。)2．(*)和(**)得到的是同样的结论，它是否有普遍性？即能否作为复合函数求导的法则？下面我们将给出证明。三、讲解新课定理设函数u=φ(x)在点x处有导数，u'=φ'(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y'u=f'(u)，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也有导数，且y'x=y'u*u'x或写作f'x[φ(x)]=f'(u)*φ'(x)分析：因为xyyxx0lim'，uyyuu0lim'，xuuxx0lim'，所以要证明定理的结论成立，只需证明xuuyxyxux000limlimlim，又因为u=φ(x)在x处有导数，故在点x连续，所以当Δx→0时，有Δu→0，因此上式等价于xuuyxyxux000limlimlim，所以只需xuuyxy成立，这是显然的。追问：以上的分析有无漏洞？(如果学生能指出分析过程中的漏洞，则给予充分肯定，如果学生发现不了，那么教师应给予提示。)因为u是x的函数，上述分析的过程中，Δu的变化是随着Δx的变化而变化的，当x改变Δx时，u既可能相应地有一个非零的改变量Δu，也可能有一个等于零的改变量Δu=0，而上述分析过程必须在Δu≠0的前提下才能完成(这就是前面“分析”过程的漏洞所在)。那么Δu=0的情况如何呢？用心爱心专心当Δu=0时，定理给出的公式也是成立的。(证明略去，有兴趣的学生可以在课余去思考或看有关参考书。)证明：(请一名学生口述，教师代其板书，师生一起完成证明过程。)上面定理实际上给出了复合函数的求导法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。这个法则通过数学归纳法可以推广到两个以上的中间变量。例如，如果y=y(u)，u＝u(v)，v＝v(x)，那么有：y'x=y'u*u'y*v'x。例求y＝(2x＋1)5的导数。解：设y＝u5，u＝2x＋1，则y'x=y'u*u'y=5u4·2=5(2x＋1)4·2＝10(2x＋1)4注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数。五、小结1.本节课主要讲了复合函数y=f[φ(x)]的求导公式y'x=y'u*u'x，其中u=φ(x)；2．求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，并适当选定中间变量，明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导；3．对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以运用公式由外向里逐层求导。用心爱心专心