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高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 二 用数学归纳法证明不等式举例讲义(含解析)新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教案VIP免费

高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 二 用数学归纳法证明不等式举例讲义(含解析)新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教案_第1页
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二用数学归纳法证明不等式举例1.利用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中,方法多种多样,其中数学归纳法是常用的方法之一.在运用数学归纳法证明不等式时,由n=k成立,推导n=k+1成立时,常常要与其他方法,如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行.2.归纳—猜想—证明的思想方法数学归纳法作为一种重要的证明方法,常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中.一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论;更重要的是,要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用数学归纳法证明其正确性,形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法.利用数学归纳法证明不等式[例1]证明不等式1+++…+<2(n∈N+).[思路点拨]―→―→[证明](1)当n=1时,左边=1,右边=2,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时不等式成立,即1+++…+<2,则当n=k+1时,左边=1+++…++<2+=,现在只需证明<2成立,即证2<2k+1成立,两边平方并整理,得0<1,显然成立,所以<2成立.即1+++…++<2成立.所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)可知,对于任意正整数n,原不等式都成立.数学归纳法证明不等式的技巧(1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,所以需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一.(2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.1.设Sn是数列的前n项和,当n≥2时,比较S2n与的大小,并予以证明.解:由S22=1+++=>,S23=1+++++…+>S22++++>+=,猜想:S2n>(n≥2).下面用数学归纳法证明.(1)当n=2时,上面已证不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+,k≥2)时,有S2k>,则当n=k+1时,S2k+1=S2k+++…+>+=+=,即当n=k+1时,不等式也成立.结合(1)(2)可知,S2n>(n≥2,n∈N+)成立.2.用数学归纳法证明:1+++…+<2-(n≥2,n∈N+).证明:(1)当n=2时,1+=<2-=,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时不等式成立,即1+++…+<2-,当n=k+1时,1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,所以当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)知原不等式在n≥2,n∈N+时均成立.3.设Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),试比较Pn与Qn的大小,并加以证明.解:(1)当n=1,2时,Pn=Qn.(2)当n≥3时,(以下再对x进行分类).①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn.②若x=0,则Pn=Qn.③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3<0,所以P3

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