高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数教案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

§3.3.3函数的最大（小）值与导数项目内容课题（共2课时）修改与创新教学目标⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重、难点教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果0x是函数yfx的极大（小）值点，那么在点0x附近找不到比0fx更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果0x是函数的最大（小）值，那么0fx不小（大）于函数yfx在相应区间上的所有函数值．二、讲授新课：观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象．图中)(1xf与1x3x2x1baxOy3()fx是极小值，2()fx是极大值．函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()fx．1．结论：一般地，在闭区间ba,上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()yfx在ba,上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，则称函数()yfx在这个区间上连续．（可以不给学生讲）⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(,)ab内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲）2．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3．利用导数求函数的最值步骤:2由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在(,)ab内的极值；⑵将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值三．典例分析例1．（课本例5）求31443fxxx在0,3的最大值与最小值解：由例4可知，在0,3上，当2x时，()fx有极小值，并且极小值为4(2)3f，又由于04f，31f因此，函数31443fxxx在0,3的最大值是4，最小值是43．上述结论可以从函数31443fxxx在0,3上的图象得到直观验证．例2．求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值解：先求导数，得xxy443/令/y＝0即0443xx解得1,0,1321xxx导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表3y=x4-2x2+512108642-4-242xOy从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4例3．已知23()logxaxbfxx,x∈(0,+∞).是否存在实数ab、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(xf的最小值是1，若存在，求出ab、，若不存在，说明理由.解：设g(x)=xbaxx2 f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴3)1(0)1('gg∴3101bab解得11ba经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.四．课堂练习1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是...