高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.2 函数的极值与导数讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

3．3.2函数的极值与导数预习课本P93～96，思考并完成以下问题1．函数极值点、极值的定义是什么？2．函数取得极值的必要条件是什么？3．求可导函数极值的步骤有哪些？1．函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．(2)函数的极小值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值．[点睛]如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．2．求函数y＝f(x)极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．[点睛]一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)＝有极值()答案：(1)√(2)√(3)×2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，其中在x＝0处取得极小值的是()A．①②B．②③C．③④D．①③答案：B3．函数y＝x3－6x的极大值为()A．4B．3C．－3D．－4答案：A4.函数f(x)＝x＋2cosx在上的极大值点为()A．0B.C.D.答案：B已知函数求极值[典例]求函数f(x)＝x2e－x的极值．[解]函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值0极大值4e－2因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝.求函数极值和极值点的四步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．[活学活用]求下列函数的极值点和极值．(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝＋3lnx.解：(1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x＝－1是函数f(x)的极大值点，且f(x)极大值＝，x＝3是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝－6.(2)函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值所以x＝1是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝3，无极大值点及无极大值．已知函数的极值求参数[典例]已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解](1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， x＝±1是函数的极值点．∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.(2)由(1)得f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．令f′(x)＞0，得x＜－1或x＞1...