导数在研究函数中的应用——单调性教学目标:1.能利用导数研究函数的单调性,并会求一些简单的非初等函数的单调区间;2.通过实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性.教学重点、难点:重点:利用导数研究函数的单调性.难点:发现和揭示导数的正、负与函数单调性的关系.教学方法与手段采用学生自主合作学习,师生共同探究的教学方法,结合多媒体辅助教学.教学过程一.问题情境(1)复习回顾:1、导数的定义?2、导数的几何意义?(2)问题:导数作为函数的变化率刻画了函数的变化趋势(上升或下降的陡峭程度),而函数的单调性也是对函数变化得趋势的一种刻画,那么导数与函数单调性有什么联系呢?二.学生活动与师生互动导数与函数的单调性的联系:1.从导数的定义和函数的单调性的定义的联系考虑任意Dx,0)(xf当0x时,0)()(xxfxxf当12xx时,0)()(1212xxxfxf当21xx时,)()(21xfxf或当21xx时,)()(21xfxff(x)在D上是单调增函数同理可得,若在区间D上0)(xf,则f(x)在D上是单调减函数.2.从几何角度考虑1曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线,也就是说,在点P附近,曲线可以看成直线(局部以直代曲),因此P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映.当切线的斜率大于0时,曲线在P点处呈上升趋势;当切线的斜率小于0时,曲线在P点处呈下降趋势;三.数学建构1.导数与函数的单调性的关系:一般地,对于函数)(xfy,如果在某区间上0)(xf,那么)(xf为该区间上的增函数;如果在某区间上0)(xf,那么)(xf为该区间上的减函数.2.用导数求函数单调区间的步骤:①确定函数)(xf的定义域;②求函数)(xf的导数)(xf;③令0)(xf,解不等式,得x的范围就是递增区间;令0)(xf,解不等式,得x的范围就是递减区间.四.数学运用例1:确定函数34)(2xxxf的单调区间.法一:利用函数图象判断函数的单调性;法二:利用导数判断函数的单调性.问:请根据函数)(xfy和导函数)(xfy的图象,进一步研究和理解函数)(xfy的单调性与导函数)(xfy的关系?2放大再放大PPP例2:确定函数762)(23xxxf在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.解:f′(x)=(2x3-6x2+7)′=6x2-12x令6x2-12x>0,解得x>2或x<0∴当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.令6x2-12x<0,解得0<x<2.∴当x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.例3:确定函数)2,0(,21sin)(xxxxf的单调减区间.解:21cos)(xxf令0)(xf,即21cosx,又)2,0(x,所有)35,3(x.故所求的单调减区间是)35,3(.变式训练:确定函数xxxf21sin)(的单调减区间.练习:确定下列函数的单调区间.(1)xexfx)(;(2)xxxf3)(;(3)xxxfln)(.五.回顾小结通过本节课的学习,你学到了哪些新知识?能解决哪些问题?本节课我们用到了哪些数学思想方法?六.课外作业课本P29练习第1,2,3,4题.教学设计说明《导数在研究函数中的应用——单调性》是苏教版普通高中课程标准实验教材选修2-2第一章第三节的内容,课时安排约一课时.3O27xy利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用,如何让学生探索并掌握导数与函数单调性的关系是本节课重点.在探索新知的过程中充分的利用数形结合、归纳猜想、转化与化归等思想方法潜移默化地让学生获得科学方法的有益启示.在复习相关的旧知识后,直接引出新问题:导数作为函数的变化率刻画了函数的变化趋势(上升或下降的陡峭程度),而函数的单调性也是对函数变化得趋势的一种刻画,那么导数与函数单调性有什么联系呢?引导学生从两个方面进行思考,一是从导数的定义和函数的单调性的定义的联系考虑,二是从从几何角度考虑.让学生积极主动地参与到学习中,激发学生对学习新知识的兴趣,主动寻求解决问题的办法.结合具体实例,通过对函数图像、单调性定义、导数的定义及几何意义的的分析...