第2课时函数最值的求法学习目标核心素养1.理解极值与最值的区别与联系．(易混点)2．会求函数在闭区间上的最值．(重点)3．能利用导数解决与函数最值相关的综合问题．(难点)1.通过学习函数的最值概念，培养数学抽象素养．2．利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算素养.如图，在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值．问题1：f(x)的最大值和最小值分别是多少？问题2：你能指出最值与极值的关系吗？函数的最值(1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；(2)如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点．拓展：求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()(4)若函数在给定闭区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值A[f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]3．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为()A．0B.C.D.C[f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.]4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.1[f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．∴f(0)＝m＝1.]求函数的最值角度一不含参数的函数最值【例1】求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈.[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x－2(－2，－1)－1(－1,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11从表中可以看出，当x＝－2或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝，又 x∈，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±.∴x＝±.∴函数f(x)在上的两个极值分别为f＝－，f＝－＋.又f＝－，f＝.比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.角度二含参数的函数最值【例2】a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.[解]f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±. x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)x0(0，)(，1)1f′(x)＋0－f(x)0↗2a↘3a－1(2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.1．求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．2.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0的三种情况．若导函...
