6．2.2导数与函数的极值、最值第1课时函数的导数与极值学习目标核心素养1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)2．会求函数的极值．(重点)3．能利用导数解决与函数极值相关的综合问题．(难点)1.通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养．2．利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养.在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质．“极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小．1．函数的极值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有(1)f(x)f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．思考1：极大值一定比极小值大吗？[提示]不一定．极值是一个局部性概念，是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的，故极大值与极小值之间无法确定大小关系．2．函数的导数与极值一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点．(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点．(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．思考2：“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的什么条件？[提示]“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的必要不充分条件．如f(x)＝x3，由f′(x)＝0得x＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)极大值一定比极小值大．()(3)函数f(x)＝有极值．()(4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设y＝f′(x)的图像与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]3．函数f(x)＝－的极值点为()A．0B．－1C．0或1D．1D[ f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.又当x＞1时f′(x)＞0，0＜x＜1时f′(x)＜0，又x＜0时f′(x)＜0，∴1是f(x)的极小值点，x＝0不是函数的极值点．]4．(一题两空)若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值点．0极大[由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，∴f′(1)＝0,1是函数f(x)的极大值点．]求函数的极值或极值点【例1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝x2－2lnx.[解](1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值21↘极小值－6↗所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；当x＝1时，f(x)取极小值－6.(2)函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－1(舍去)．当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值1↗因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．求可导函数fx的极值的步骤1确定函数的定义域，求导数f′x.2求方程f′x＝0的根.3利用f...
