3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标核心素养1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.(重点、难点)借助导数公式及运算法则求函数的导数,培养数学运算素养.导数的运算法则(1)设两个函数f(x),g(x)可导,则和的导数[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)差的导数[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)商的导数=(g(x)≠0)(2)常数与函数的积的导数[cf(x)]′=cf′(x)(c为常数)思考:根据商的导数的运算法则,试求函数y=的导数.[提示]y′===-.1.函数y=x·lnx的导数是()A.xB.C.lnx+1D.lnx+xC[y′=(x)′×lnx+x×(lnx)′=lnx+1.]2.函数y=x4+sinx的导数为()A.y′=4x3B.y′=cosxC.y′=4x3+sinxD.y′=4x3+cosxD[y′=(x4)′+(sinx)′=4x3+cosx.]3.函数y=的导数为__________.y′=-[y′==-.]利用导数的运算法则求导数【例1】求下列函数的导数:(1)y=+sincos;(2)y=x+2;(3)y=cosxlnx;(4)y=.[解](1)y′==(x-2)′+=-2x-3+cosx=-+cosx.(2)y′==(x3)′--(6x)′+(2)′=3x2-3x-6.(3)y′=(cosxlnx)′=(cosx)′lnx+cosx(lnx)′=-sinxlnx+.(4)y′====.利用导数运算法则的策略1分析待求导式符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式.2如果求导式比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.3利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.[跟进训练]1.求下列函数的导数.(1)y=e2x;(2)y=x2+log3x;(3)y=.[解](1)y=e2x=ex·ex,∴y′=(ex)′·ex+ex·(ex)′=2e2x.(2)y=x2+log3x,∴y′=2x+.(3)y=,∴y′=.导数运算的综合应用【例2】设函数f(x)=x3-x2-3x-5,点P是曲线y=f(x)上的一个动点.(1)求以P点为切点的切线斜率的取值范围;(2)求以P点为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程.[思路点拨]求出f′(x),转化为求f′(x)的最值问题.[解](1)因为f(x)=x3-x2-3x-5,所以f′(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4.所以以P点为切点的切线斜率的取值范围为[-4,+∞).(2)由(1)知f′(x)min=-4,即当x=1时,k=f′(x)min=-4,又因为f(1)=-1-3-5=-,故此时的切线方程为y+=-4(x-1),即12x+3y+14=0.1.本题主要考查导数的运算法则,导数的几何性质及二次函数最值问题及求曲线的切线方程.2.曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁,如①求与坐标轴围成的三角形面积问题;②求与切线垂直(平行)的直线方程问题;③求与切线有关的定值问题等.[跟进训练]2.设函数f(x)=x-,求证曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.[解]设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.利用导数求函数解析式[探究问题]对于函数y=f(x)而言,f′(x)与f′(a)相同吗?提示:不同,f′(x)是函数y=f(x)的导数,而f′(a)是f′(x)在x=a处的函数值.【例3】(1)已知函数f(x)=+2xf′(1),试比较f(e)与f(1)的大小关系;(2)设f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcosx.[思路点拨](1)―→―→―→(2)―→[解](1)由题意得f′(x)=+2f′(1),令x=1,得f′(1)=+2f′(1).则f′(1)=-1.所以f(x)=-2x,得f(e)=-2e=-2e,f(1)=-2,由f(e)-f(1)=-2e+2<0,得f(e)