高中数学 第3章 导数及其应用 3.2 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）（教师用书）教案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标核心素养1．理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)借助导数公式及运算法则求函数的导数，培养数学运算素养.导数的运算法则(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则和的导数[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)差的导数[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)积的导数[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)商的导数＝(g(x)≠0)(2)常数与函数的积的导数[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)思考：根据商的导数的运算法则，试求函数y＝的导数．[提示]y′＝＝＝－.1．函数y＝x·lnx的导数是()A．xB．C．lnx＋1D．lnx＋xC[y′＝(x)′×lnx＋x×(lnx)′＝lnx＋1.]2．函数y＝x4＋sinx的导数为()A．y′＝4x3B．y′＝cosxC．y′＝4x3＋sinxD．y′＝4x3＋cosxD[y′＝(x4)′＋(sinx)′＝4x3＋cosx．]3．函数y＝的导数为__________．y′＝－[y′＝＝－.]利用导数的运算法则求导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝＋sincos；(2)y＝x＋2；(3)y＝cosxlnx；(4)y＝.[解](1)y′＝＝(x－2)′＋＝－2x－3＋cosx＝－＋cosx.(2)y′＝＝(x3)′－－(6x)′＋(2)′＝3x2－3x－6.(3)y′＝(cosxlnx)′＝(cosx)′lnx＋cosx(lnx)′＝－sinxlnx＋.(4)y′＝＝＝＝.利用导数运算法则的策略1分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.2如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.3利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.[跟进训练]1．求下列函数的导数．(1)y＝e2x；(2)y＝x2＋log3x；(3)y＝.[解](1)y＝e2x＝ex·ex，∴y′＝(ex)′·ex＋ex·(ex)′＝2e2x.(2)y＝x2＋log3x，∴y′＝2x＋.(3)y＝，∴y′＝.导数运算的综合应用【例2】设函数f(x)＝x3－x2－3x－5，点P是曲线y＝f(x)上的一个动点．(1)求以P点为切点的切线斜率的取值范围；(2)求以P点为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程．[思路点拨]求出f′(x)，转化为求f′(x)的最值问题．[解](1)因为f(x)＝x3－x2－3x－5，所以f′(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4.所以以P点为切点的切线斜率的取值范围为[－4，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)min＝－4，即当x＝1时，k＝f′(x)min＝－4，又因为f(1)＝－1－3－5＝－，故此时的切线方程为y＋＝－4(x－1)，即12x＋3y＋14＝0.1．本题主要考查导数的运算法则，导数的几何性质及二次函数最值问题及求曲线的切线方程．2．曲线的切线问题是这类问题的纽带和桥梁，如①求与坐标轴围成的三角形面积问题；②求与切线垂直(平行)的直线方程问题；③求与切线有关的定值问题等．[跟进训练]2．设函数f(x)＝x－，求证曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．[解]设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)，所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.利用导数求函数解析式[探究问题]对于函数y＝f(x)而言，f′(x)与f′(a)相同吗？提示：不同，f′(x)是函数y＝f(x)的导数，而f′(a)是f′(x)在x＝a处的函数值．【例3】(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.[思路点拨](1)―→―→―→(2)―→[解](1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)．则f′(1)＝－1.所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)