§2两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦、余弦公式．(重点)3.会利用公式解决简单的化简求值问题．(难点)1.通过推导两角和与差的正弦、余弦公式，体会逻辑推理素养．2.通过利用公式解决简单的化简求值问题，提升数学运算素养．1．两角差的余弦公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(Cα－β)2．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．(Cα＋β)3．两角和与差的正弦公式(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ．(Sα＋β)，(2)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．(Sα－β).思考：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？[提示]sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.1．cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A．B．－C．0D．1C[逆用两角和的余弦公式可得cos75°cos15°－sin75°·sin15°＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.]2．cos75°＝________．[cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝.]3．cos(x－y)cosy－sin(x－y)siny＝________．cosx[原式＝cos[(x－y)＋y]＝cosx．]4．cos66°·cos36°＋cos24°·cos54°的值为________．[cos66°·cos36°＋cos24°·cos54°＝cos66°·cos36°＋sin66°·sin36°＝cos(66°－36°)＝cos30°＝.]给角求值【例1】求下列各式的值：(1)cos105°＋sin195°；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(3)sin－cos.[解](1)cos105°＋sin195°＝cos(90°＋15°)＋sin(180°＋15°)＝－sin15°－sin15°＝－2sin15°＝－2sin(45°－30°)＝－2(sin45°·cos30°－cos45°·sin30°)＝－2＝.(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.(3)法一：sin－cos＝2＝2＝－2cos＝－2cos＝－2×＝－.法二：sin－cos＝2＝2＝－2sin＝－2sin＝－2×＝－.解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”．1．求下列式子的值：(1)cos(－15°)；(2)sin795°.[解](1)cos(－15°)＝cos(30°－45°)＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.(2)sin795°＝sin(2×360°＋75°)＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝.给值求值【例2】已知0<β<，<α<，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．[思路探究]注意－＝＋(α＋β)，可通过求出＋β和－α的正、余弦值来求sin(α＋β).[解] <α<，∴－<－α<0.∴sin＝－＝－.又 0<β<，∴<＋β<π，∴cos＝－＝－，sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin＝－×－×＝.1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．2．常见的变角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．2．已知α，β是锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，求sinβ的值．[解] α是锐角，且sinα＝，∴cosα＝＝＝.又 sin(α＋β)＝＝＝，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)·sinα＝×－×＝.给值求角[探究问题]1．给值求角的实质是什么？[提示]给值求角即求该角的某种三角函数值．2．给值求角的关键是什么？[提示]关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示．3．常用的角的变换技巧有哪些？[提示]互余或互补关系的应用，如－α与＋α互余，＋α与π－α互补等．【例3】已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sinβ＝－，求α.[思路探究]先计算sinα后再根据α∈确定角α大小．[解] α∈，β∈，∴α－β∈(0，π). cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝. β∈，sinβ＝－，∴cosβ＝，∴sinα＝sin[(α－β)...
