高中数学 最全的递推数列求通项公式方法 新人教A版必修5VIP免费

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.解：，，即，…………将以上k个式子相加，得将代入，得，1。经检验也适合，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知，，求。解：3437526331348531nnnnn。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得2类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________（key:）变式:（2006.福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆即（II）证法一：3①②②－①，得即③－④，得即是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆证法二：同证法一，得令得设下面用数学归纳法证明（1）当时，等式成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）假设当时，那么这就是说，当时，等式也成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆根据（1）和（2），可知对任何都成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆（III）证明：4变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．类型4（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：解：（I）当时，；当时，，即，5利用（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）的方法，解之得：(Ⅱ)将代入①得Sn=×(4n－2n)－×2n+1+=×(2n+1－1)(2n+1－2)=×(2n+1－1)(2n－1)Tn==×=×(－)所以,=－)=×(－)<类型5递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法...