1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用学习目标核心素养1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升学生的数学运算素养.一、几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝f′(x)＝－f(x)＝f′(x)＝二、基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝cy′＝0y＝xn(n∈N＋)y′＝nxn－1，n为正整数y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)y′＝μxμ－1，μ为有理数y＝ax(a＞0，a≠1)y′＝axlnay＝exy′＝exy＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)y′＝y＝lnxy′＝y＝sinxy′＝cos_xy＝cosxy′＝－sin_x1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝x3＋2，则y′＝3x2＋2.()(2)若y＝，则y′＝.()(3)若y＝e，则y′＝0.()[解析](1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝，∴y′＝－.(3)由y＝e，∴y′＝0.[答案](1)×(2)×(3)√2．给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝；②y＝，则y′＝－；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.[答案]C3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于()A.B．10C．10ln10D.[解析] f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.[答案]C利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[思路探究]首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解](1)y′＝(x12)′＝12x11．(2)y′＝＝(x－4)′＝－4x－5＝－.(3)y′＝()′＝(x)′＝x－.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝__________.[解析] f′(x)＝3x2，g′(x)＝，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.[答案]3x2－利用公式求函数在某点处的导数【例2】质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝时的速度；(2)求质点运动的加速度．[思路探究](1)先求s′(t)，再求s′.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．[解](1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴v＝cos＝.即质点在t＝时的速度为.(2) v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在处的导数．[解](1) f′(x)＝＝(x－)′＝－x－＝－，∴f′(1)＝－＝－.(2) f′(x)＝－sinx，∴f′＝－sin＝－.导数公式的应用[探究问题]1．f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝均可表示为y＝xα(α∈Q＋)的形式，其导数有何规律？提示： (x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，()′＝＝x－1，∴(xα)′＝α·xα－1．2．点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．提示：如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为.【例3】求过曲线f(x)＝cosx上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．[思路探究]→→→[解]因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点P的切线斜率为f′＝－sin＝－，所以所求直线的斜率为，所求直线方程为y－＝，即y＝x－π＋.若将上例中点P的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程．[解] f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点P(π，－1)处的切线斜率为f′(π)＝－sinπ＝0，所以所求直线的斜率不存在，所以所求直线方程为x＝...
