高中数学 3.1.5 空间向量运算的坐标表示教案 北师大版选修2-1VIP免费

3.1.5空间向量运算的坐标表示课题向量的坐标教学目的要求1．理解空间向量与有序数组之间的1-1对应关系2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示主要内容与时间分配1．投影与投影定理25分钟2．分向量与向量的坐标30分钟3．模与方向余弦的坐标表示35分钟重点难点1．投影定理2．分向量3．方向余弦的坐标表示教学方法和手段启发式教学法，使用电子教案一、向量在轴上的投影1．几个概念(1)轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则eAB(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BCABAC(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作aOA，bOB，规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为),(ba(4)空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点'A叫做点A在轴u上的投影。(5)向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点'A和'B，那么轴u上的有向线段的值''BA叫做向量AB在轴u上的投影，记做ABjuPr。2．投影定理性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：用心爱心专心cosPrABABju性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即2121aaaajjjuPrPr)(Pr性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即aajjuPr)(Pr二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设a=21MM是以),,(1111zyxM为起点、),,(2222zyxM为终点的向量，i、j、k分别表示图7－5沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：)(1221xxMMi+)(12yyj+)(12zzk或a=axi+ayj+azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a＝{ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为),,(1111zyxM终点为),,(2222zyxM的向量可以表示为},,{12121221zzyyxxMM特别地，点),,(zyxM对于原点O的向径用心爱心专心},,{zyxOM注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2．向量运算的坐标表示设},,{zyxaaaa，},,{zyxbbbb即kjiazyxaaa，kjibzyxbbb则(1)加法：kjiba)()()(zzyyxxbababa◆减法：kjiba)()()(zzyyxxbababa◆乘数：kjia)()()(zyxaaa◆或},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaa◆平行：若a≠0时，向量ab//相当于ab，即},,{},,{zyxzyxaaabbb也相当于向量的对应坐标成比例即zzyyxxababab三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设},,{zyxaaaa，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量a的方向角，见图7用心爱心专心－6，其余弦表示形式coscoscos、、称为方向余弦。图7－61．模222zyxaaaa2．方向余弦由性质1知coscoscoscoscoscos212121aaaMMaMMaMMazyx，当0222zyxaaaa时，有222222222coscoscoszyxzzzyxyyzyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa◆任意向量的方向余弦有性质：1coscoscos222◆与非零向量a同方向的单位向量为：}cos,cos,{cos},,{1zyxaaaaaaa03．例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量21MM的模、方向余弦、方向角以及与21MM同向的单位向量。解：21MM＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}2)2(1)1(22221MM21cos，21cos，22cos32，3，43设0a为与21MM同向的单位向量，由于}cos,cos,{cos0a即得用心爱心专心}22,21,21{0a用心爱心专心