2.2.2正、余弦定理的应用举例（2）知识梳理1.实际问题数学模型推演理算实际问题的解数学模型的解抽象概括还原说明2.解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。3.解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。典例剖析题型一正、余弦定理在几何中的应用例1如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值奎屯王新敞新疆解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝sin2121＋43(5－4cosθ)＝2sin(θ－3)＋435∴当θ－3＝2即θ＝65时，ｙmax＝2＋435奎屯王新敞新疆评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性奎屯王新敞新疆另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应予以重视奎屯王新敞新疆题型二正、余弦定理在函数中的应用例2如图，有两条相交成60角的直线XX、YY，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲离O点3千米，乙离O点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX方向，乙沿YY方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）设甲、乙两人起初的位置是A、B，则2222cos60ABOAOBOAOB1XXYYBQPOA2213123172，∴起初，两人的距离是7．（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是PQ、，则4APt，4BQt，当304t时，2222(34)(14)2(34)(14)cos6048247PQtttttt；当34t时，2222(43)(14)2(43)(14)cos12048247PQtttttt，所以，248247PQtt．（3）22214824748()44PQttt，∴当14t时，即在第15分钟末，PQ最短。答：在第15分钟末，两人的距离最短。评析：（2）中，分0t43和t>43两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。备选题正、余弦定理的综合应用例3如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（233）（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）；表示为的函数，（2）求y＝221211SS＋的最大值与最小值。解析：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以AG＝233323＝，MAG＝6，由正弦定理GMGAsinsin66＝（－－）得3GM6sin6＝（＋），则S1＝12GMGAsin＝sin12sin6（＋）。同理可求得S2＝sin12sin6（－）。（2）y＝221211yy＋＝222144sinsinsin66〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot2）2ABCMND因为233，所以当＝3或＝23时，y取得最大值ymax＝240，当＝2时，y取得最小值ymin＝216。点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数4()fttt，这些解题思维的拐点。点击双基1．在△ABC中，70,50sin2,10sin4Cba，则△ABC的面积为（）A.81B.41C.21D.1解：SABC=Cabsin21=4sin10sin50sin70=4cos20cos40cos80=20sin20sin80cos40cos20cos4=20sin80cos40cos40sin2=20sin2160sin=21答案：C2.如图所示:在一幢20m高的楼顶A测得对面一塔顶C的仰角为60,塔基D的俯角为45,则这座塔的高是()A.203mB.103mC.(...
