2.2.2椭圆的简单几何性质课堂探究探究一利用标准方程研究几何性质解答由椭圆的方程研究几何性质的问题时，首先要将椭圆的方程化成标准形式，然后根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置，写出a，b的值，并求出c的值，最后按要求写出椭圆的几何性质．【典型例题1】求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．思路分析：本题主要考查了已知椭圆的方程，研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成标准形式，然后再写出性质．解：把已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，所以a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝ca＝74.两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．探究二利用椭圆的几何性质求它的方程利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，其一般步骤如下：【典型例题2】已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．思路分析：由于不知道椭圆的焦点在哪条坐标轴上，所以可分情况讨论或设为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0)的形式求解．解法一：若椭圆的焦点在x轴上，则设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由题意得2a＝3·2b，9a2＋0b2＝1，解得a＝3，b＝1.所以椭圆方程为x29＋y2＝1.若焦点在y轴上，则设方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．由题意得2a＝3·2b，0a2＋9b2＝1，解得a＝9，b＝3.所以椭圆方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.解法二：设椭圆方程为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则由题意得9m＝1，2m＝3·2n或9m＝1，2n＝3·2m.解得m＝9，n＝1或m＝9，n＝81.所以椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.探究三与离心率有关的问题求椭圆的离心率，可根据椭圆的标准方程与焦点的位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用定义e＝ca求解或构造关于a，c的齐次方程求解．要确定离心率的取值范围，则需根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的不等式求解．【典型例题3】设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使PF1→·PF2→＝0，求椭圆的离心率e的取值范围．思路分析：由条件PF1→·PF2→＝0，知PF1⊥PF2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，也在椭圆上，利用圆与椭圆有公共点的条件建立不等式求解．解：如图所示，由题意知点P在以F1F2为直径的圆上，即在圆x2+y2=c2上，又点P在椭圆上，所以圆x2+y2=c2与椭圆2222xyab=1有公共点，连接OP，则易知0＜b≤c＜a，所以b2≤c2＜a2，即a2-c2≤c2＜a2.所以22a≤c2＜a2，所以22≤ca＜1，所以e∈2,12.点评：由椭圆上一点和两个焦点构成的三角形叫做焦点三角形，它包含着很多关系，解题时要从椭圆的定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的取值范围是0＜e＜1.探究四易错辨析易错点不能确定焦点在哪个坐标轴上【典型例题4】若椭圆x2k＋8＋y29＝1的离心率e＝12，求k的值．错解：由已知得a2＝k＋8，b2＝9.又因为e＝ca＝12，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝k－1k＋8＝14，解得k＝4.错因分析：忽视了椭圆的焦点在y轴上的情况．正解：(1)若焦点在x轴上，即当k＋8＞9时，a2＝k＋8，b2＝9.又因为e＝ca＝12，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝k－1k＋8＝14，解得k＝4.(2)若焦点在y轴上，即当0＜k＋8＜9时，a2＝9，b2＝k＋8.又因为e＝12，所以e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－k9＝14，解得k＝－54.综上可知，k＝4或k＝－54.
