限时集训(二十一)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(限时：60分钟满分：110分)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2012·辽宁高考)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝________.2．(2012·江西高考)若tanθ＋＝4，则sin2θ＝________.3．(2013·宿迁期中)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝________.4.＝________.5．在△ABC中，tanB＝－2，tanC＝，则A等于________．6．已知α＋β＝，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________.7．(2012·合肥模拟)已知cos＋sinα＝，则sin＝________.8.(2012·苏州模拟)如图，三个相同的正方形相接，则α＋β＝________.9．(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为________．10．设γ，θ为常数且θ∈，γ∈，若sin(α＋γ)＋sin(γ－β)＝sinθ(sinα－sinβ)＋cosθ(cosα＋cosβ)对一切α，β∈R恒成立，则＝________.二、解答题(本大题共4小题，共60分)11．(满分14分)(2013·盐城期中)已知α为锐角，且tan＝2.(1)求tanα的值；(2)求的值．12．(满分14分)如图，O为坐标原点，点A，B，C均在⊙O上，点A，点B在第二象限，点C(1,0).(1)设∠COA＝θ，求sin2θ的值；(2)若△AOB为等边三角形，求点B的坐标．13.(满分16分)(2012·南通模拟)已知函数f(x)＝2cos2－sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域．(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．14．(满分16分)已知向量a＝(sinωx，cosωx)，b＝(cosφ，sinφ)，函数f(x)＝a·b的最小正周期为2π，其图象经过点M.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(2α－β)的值．答案[限时集训(二十一)]1．解析：由sinα－cosα＝sin(α－)＝，α∈(0，π)，解得α＝，所以tanα＝tan＝－1.答案：－12．解析：法一：∵tanθ＋＝＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝.法二：∵tanθ＋＝＋＝＝，∴4＝，故sin2θ＝.答案：3．解析：将sinα＋cosα＝两边平方，可得1＋sin2α＝，sin2α＝－，所以(－sinα＋cosα)2＝1－sin2α＝.因为α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，所以－sinα＋cosα＝－，所以cos2α＝(－sinα＋cosα)·(cosα＋sinα)＝－.答案：－4．解析：＝＝＝2.答案：25．解析：tanA＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－＝－＝1.故A＝.答案：6．解析：∵α＋β＝，tan(α＋β)＝＝1，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋1－tanαtanβ＋tanαtanβ＝2.答案：27．解析：由条件知cos＋sinα＝＋sinα＝＝sin＝，即sin＝.故sin＝－sinα－cosα＝－＝－sin＝－.答案：－8．解析：由已知tanα＝2，tanβ＝3，所以tan(α＋β)＝＝＝－1.又0<α＋β<π，所以α＋β＝π.答案：π9．解析：因为α为锐角，cos＝，所以sin＝，sin2＝，cos2＝，所以sin＝sin＝sin2·cos－cos2sin＝.答案：10．解析：由sin(α＋γ)＋sin(γ－β)＝sinθ(sinα－sinβ)＋cosθ(cosα＋cosβ)对一切α，β∈R恒成立，所以当α＝β＝0时，则有2sinγ＝2cosθ⇒sinγ＝sin，又因为θ∈，所以－θ∈，又γ∈，从而γ＝－θ，所以＝＝2＝2＝2.答案：211．解：(1)tan＝，所以＝2,1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝.(2)＝＝＝＝sinα.因为tanα＝，所以cosα＝3sinα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝，又α为锐角，所以sinα＝，所以＝.12．解：(1)因为cosθ＝，sinθ＝，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝(2)因为△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，所以cos∠BOC＝cos(∠AOC＋60°)＝同理，sin∠BOC＝，故点B的坐标为13．解：(1)因为f(x)＝1＋cosx－sinx＝1＋2cos，所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．(2)因为f＝，所以1＋2cosα＝，即cosα＝－.又因为α为第二象限角，所以sinα＝.因为＝＝＝，所以原式＝＝＝.14．解：(1)依题意有f(x)＝a·b＝sinωxcosφ＋cosωxsinφ＝sin(ωx＋φ)．∵函数f(x)的最小正周期为2π，∴2π＝T＝，解得ω＝1.将点M代入函数f(x)的解析式，得sin＝.∵＜φ＜π，∴＋φ＝，∴φ＝.故f(x)＝sin＝cosx.(2)依题意有cosα＝，cosβ＝，而α，β∈，∴sinα＝＝，sinβ＝＝，∴sin2α＝，cos2α＝cos2α－sin2α＝－＝－，∴f(2α－β)＝cos(2α－β)＝cos2αcosβ＋sin2αsinβ＝－×＋×＝.
