第六章具有约束条件的间接平差在一个平差问题中，观测数为，多余观测数为tnnr−=，t为必要观测次数。如果在平差问题中，不是t个而是选t个参数，其中包含t个独立参数，则多选择t−个参数必然是t个独立参数的函数，亦即在u个参数之间存在t选择的着u>us=us−=个函数关系，它们用来约束参数之间应该满足的关系。因此在选定t个参数进行间接平差时，除了n个观测方程外，还要增加tu>us−=个约束参数的条件方程，故称此平差方法为具有约束条件的间接平差法。第三章已给出了具有约束条件的间接平差线性化的函数模型01110X111ˆˆnununsuuss××××××××=+=+−+=⎧⎪⎨⎪=+⎩XBBC0CVxllXdxWWXUL(6.1.1)rk()ust==+B，rk()s=C；nus<<这里和U分别是行1列、和行1列的常数向量。该问题的自由度仍是。dns)(sunr−−=观测值向量L的随机模型为nnnnnn×−××==12020PQDσσ平差的准则为minT=VVP具有约束条件的间接平差就是要求在满足个误差方程和个参数条件方程下，利用最小二乘原理求V值，在数学中就是求函数的条件极值问题。ns§6.1平差原理具有约束条件的间接平差的函数模型，一共有ns+个方程；而未知数有n个观测值的残差和所选择的u个参数，即一共有待求未知量。由于方程个数nu+unsn+<+，因此（6.1.1）式是具有无穷多组解的一组方程。为此应在无穷多组解中求出使V的一组解。min=VTP一、基础方程和它的解按函数极值的拉格朗日乘数法，设联系系数向量组成函数：SK)ˆ(2TSTXCPWxKVV++=Φ为求的极小，将上式对求导数，并令其为零矩阵有ΦxˆTTTTSS2222ˆˆ∂Φ∂=+=+∂∂PCPBCVVKVKxx=0转置后得：11611ST1T××××××=+ussunnu0CPBKVnn将函数模型的第一式代入上式后，令Tuu×=bbNBPB，；T1u×=BPWlrk()u=bbN则可组成以下法方程组TSˆˆ⎧++=⎨+=⎩bbXNCC0xKWxW0(6.1.2)由于，所以由法方程组的第一式可得：rk()u=bbN()1TSˆ−=−+bbNCxKW(6.1.3)代入法方程的第二式有1S−=−+CCbbXNCNKWW(6.1.4)这里令T1ssCCNNbbCC−×=；1Trk()rk()sss−×==CCbbNCNC由于，即满秩对称方阵，其逆存在。则有rk()s=CCNCCN11S(−−=−−CCbbXNCNKW)W(6.1.5)把上式代入（6.1.3）式后，可解得()1TSˆ−=−+bbNCxKW()1T11()−−−=−−−+bbCCbbXNCNCNWWW()1T1111T1−−−−−−=−−bbCCbbbbbbCCXNCNCNNNCNWW(6.1.6)进而可得xXXˆˆ0+=，ˆ=+BVxllP，VLL+=ˆ至此所有待求量全部解出。二、精度估计在具有约束条件的间接平差中，精度评定同样包括单位权方差的估值公式、平差值函数的协因素和相应中误差的计算公式。为此还要导出有关向量平差后的协因素阵，或称验后协因素阵。（一）的计算VVPTVVPT的计算，除直接由向量V和矩阵计算外，还可用下述公式计算PTTˆ()=+PPBVVVxlTTˆ=+PBPVxVTTTˆ()=+BPPVxVl〔〕0CPB=+STTKVTTSˆ=−+CKxVl〔ˆ=+BVxl〕117TTSˆˆ()=−++CBPKxxllTTTTSˆˆ=−++CBPKxxlllP〔0CX=+Wxˆ〕TTTTSˆ=++XPBllKWxlPT〔〕lWPBT=TTTSˆ=++XPllKWxWTTSˆ=++XPllWKWx(6.1.7)上式可作为检核用。（二）单位权方差的计算单位权方差的估值公式仍然是残差加权平方和除以平差问题的自由度（多余观测数）)(ˆTTT20suntnr−−=−==VVVVVVPPPσ(6.1.8)它与平差时如何选取参数Xˆ无关。关于上式的一个严格证明方法如下：因为具有约束条件的间接平差的函数模型为00ˆˆ⎧=+=+−⎨+==+⎩XXBBC0CVxllXdLxWWXU如果以真值表示，则为00⎧=+=+−⎨+==+⎩XXΔBBC0C%%xllXdLxWWXU以上两式相减有ˆ()ˆ()=−+⎧⎨′−+=⎩XBΔC0%%VxxxxW以xxxˆ)~ˆ(→−，，→Δl′=→XX0WW组成新的函数模型，则得，进而根据（6.1.7）有T=BPΔWTTTTTTSˆˆ=++=+XPPΔPΔΔPBVVllWKWxx另外，由（6.1.6）式可得()1T1111T1ˆ−−−−−−=−−bbCCbbbbbbCCXNCNCNNNCNxWW()1T111T−−−−=−bbCCbbbbNCNCNNBPΔ把上式代入到前一式式后可得TTTˆ=+PΔPΔΔPBVVx()TT11T11T−−−−=−−bbbbCCbbΔPΔΔPBNNCNCNBPΔ()TT11T11Ttr()−−−−=−−bbbbCCbbΔPΔΔPBNNCNCNBPΔ上式两边取数学期望()TTT11T11E()Etr()−−−−⎡⎤=−−⎣⎦bbbbCCbbPΔPΔΔPBNNCNCNBPΔVVT118()()T11T11TEtr()nn−−−−×⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦bbbbCCbbΔIPBNNCNCNBPΔ()()...
