综合与实践猜想、证明与拓广青岛第四十二中学温少林提出问题，猜想探究问题1、当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍？解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为2a,此时面积应为4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为a，此时周长应为4a，不是4a的两倍，22提出问题，猜想探究2a周长变大为周长变大为22倍倍面积变大为面积变大为22倍倍2aa由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.所以周长比和面积比不可能同时为2.结论：不存在这样的正方形，它的周长与面积分别是已知正方形的2倍。a周长变大为2倍面积变大为2倍提出问题，猜想探究问题2、当任意给定一个矩形时，是否存在另一个矩形，它的周长与面积分别是已知矩形周长与面积的2倍？提出问题，猜想探究周长周长×2×2面积面积×2×2如果已知矩形的长和宽分别为2和1,3和1，4和1,5和1呢？结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.活动说明：1、以四人小组为单位进行探究活动。2、每小组选一种情况进行说明。3、整理写出解答过程。探究活动：拓展思维，证明猜想。222mnmnx221mnmnx解：设定矩形的长为n，宽为m，则周长是2(n+m),面积是mn，有另一个矩形的周长与面积是原矩形的2倍，则周长应为4(n+m),面积为2mn.得方程x[2(n+m)-x]=2mn解得：当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？结论•任意给定一个矩形，必然存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍。问题（3），任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？问题拓广，自主探究。周长周长××面积面积××2121小明的结论•小明认为这个结论是正确的，理由是：既然任意给定一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍，也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”，那么，原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半。•你同意小明的观点吗？如果已知矩形的长和宽分别为2和1,3和1，4和1,5和1呢？结论会怎样呢?你是怎么做的?和同伴交流.活动说明：1、以四人小组为单位进行探究活动。2、每小组选一种情况进行说明。3、整理写出解答过程。探究活动：当矩形满足什么条件，才存在一个新的矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半？问题拓广，自主探究mnxmnx2121时矩形存在当mnmn622分析：设所求矩形的长为x，列方程为问题拓广，自主探究总结反思，方法提炼（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.（1）本节课的问题解决综合运用了所学知识,体会知识之间的内在联系.总结反思，方法提炼（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法，有助于开阔学生的思维.布置作业，巩固所学1、181页1,2,3.2、写篇小论文，把课题学习探索的过程和探索得到的结果及你的感受体验整理成数学小论文。
