三限——等差数列VIP专享VIP免费

6.2等差数列一、知识梳理1.等差数列的概念：2.通项公式：推广：an=am+（n－m）d.变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.3.等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的，即有；a、b、c成等差数列是2b=a+c的条件.4.前n项和：Sn===n·an－（n－1）nd.变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）.二、双基训练1.（09安徽文）已知为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,，则a20等于A.-1B.1C.3D.72.（09湖南文）设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于A．13B．35C．49D．633.（09辽文）已知na为等差数列，且7a－24a＝－1,3a＝0,则公差d＝A.－2B.－12C.12D.24.(2009山东卷文)在等差数列}{na中,6,7253aaa,则____________6a.三、典例剖析例1:数列{an}的前n项和为Sn=npan（n∈N+）且a1≠a2，（1）求常数p的值；（2）证明：数列{an}是等差数列.例2：已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，（1）求an（2）求数列{|an|}的前n项和Tn.变式：若此题的Sn=n2－12n，那又该怎么求Tn呢？四、闯关训练与拓展练习1.（03年全国）等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n是A.48B.49C.50D.512.（09四川文）等差数列｛na｝的公差不为零，首项1a＝1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10项之和是A.90B.100C.145D.1903.（09宁海文）等差数列na的前n项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则mA.38B.20C.10D.94.(09陕西卷文）设等差数列na的前n项和为ns,若6312as,则na。15.（2009江苏卷）9.设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS。（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项。6.（04年上海）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点（，）在直线x－y－=0上，则an=___________________.7.（03年上海）设f（x）=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为___________________.8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1=.（1）求证：{}是等差数列；（2）求an的表达式.五、思悟小结1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.等差数列中，已知五个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个.3.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明an－an－1（n≥2）为常数；（2）利用等差中项，即证明2an=an－1+an+1（n≥2）.4.等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，数列{an}为递增数列，Sn有最小值；当a1＞0，d＜0时，数列{an}为递减数列，Sn有最大值；当d=0时，{an}为常数列.5.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a－d，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d.6.复习时，要注意以下几点：（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.（2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.剖析：（1）注意讨论p的所有可能值.（2）运用公式an=求an.解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，∴a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0.当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0. a1≠a2，故p=.（2）由已知Sn=nan，a1=0.N≥2时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1.∴=.则=，…，=.2∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2.故{an}是以a2为公差，以a1为首项的等差数列.评述：本题为“Snan”的问题，体现了运动变化的思想.例2：已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前n项和公式，表示成关于首项a1和公差d的两个方程.解：设{an}的首项为a1，公差为d，则解得∴S110=110a1+×110×109d=－110.解：当n=1时，a1=S1=12－12=11；当n≥2时，an=Sn－Sn－1=12n－n2－［12（n－1）－（n－1）2］=13－2n. n=1时适合上式，∴{an}的通项公式为an=13－2n.由an=13－2n...