6．2算术平均数几何平均数（2）黄冈中学汤彩仙一．教学目标:1．进一步掌握均值不等式定理；2．会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题．二．教学重点:均值不等式定理的应用三．教学难点:解题中的转化技巧四．教学方法:启发式五．教学过程:（一）复习回顾上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回顾一下定理内容及其适用条件．（学生回答略）利用这一定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来继续这方面的训练．（二）新课讲解例1．已知yx,都是正数，求证：①如果积xy是定值p，那么当yx时，和yx有最小值p2；②如果和yx是定值s，那么当yx时，积xy有最大值241s．证明： Ryx,，∴xyyx2，①当xyp(定值)时，pyx2，∴yxp2， 上式当yx时取“”，∴当yx时有min)(yxp2；②当syx(定值)时，2sxy，∴241sxy， 上式当yx时取“”，∴当yx时有2max41)(sxy．说明：应用定理时注意以下几个条件：（1）两个变量必须是正变量；（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；（3）当且仅当两个数相等时取最值．即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数．例2．（1）求lglog10xx)1(x的最值，并求取最值时的x的值．解： 1x∴0lgx010logx于是lglog102lglog102xxxx≥，当且仅当lglog10xx，即10x时，等号成立，∴lglog10xx)1(x的最小值是2，此时10x．（2）若上题改成10x，结果将如何？解： 10x，0lgx，010logx于是2)10log()lg(xx，从而210loglgxx，∴lglog10xx(01)x的最大值是2，此时110x．例3．求下列各式的最值(1)224(02)yxrxxr（2）281xyx(3)231(1)1xxyxx（4）22121xxyxx（5）设,0ab，且221,2ba求21ab的最大值．解：（1）222222222(4)4(4)22xrxyxrxxrxr≤，当且仅当2xr时等号成立．（2）2199(1)2811xyxxx≥，当且仅当4x时取等号．(3)2231(1)5(1)55(1)5255111xxxxyxxxx≥，当51x时取等号．（4）2222113111121212142xxxxyxxxxxxxx≥，当且仅当1x时等号成立．（5）222221321(1)2(1)24ababab≤，当且仅当32,22ab时取等号．例4．（1）若正数,xy满足21xy，求11xy的最小值．（2）已知0ab，求216()abab的最小值．解：（1）11112(2)()3322yxxyxyxyxy≥，当且仅当22222,2yxxyxy时取得最小值322．说明：（1）的错误解法是：11111222,22,242xyxyxyxyxy≥≥≥≥，两次取等号的条件不一致．（2）由0ab知，0ab，∴222()(())()24babababbab≤，∴216()abab22226464216aaaa≥≥，上式中两个“≥”号中的等号当且仅当2264,ababa都成立，即当22,2ab时，216()abab取得最小值16．例5．已知正数,ab满足1ab，（1）求ab的取值范围；（2）求1abab的最小值．解：（1）104ab≤（2）1yxx在1(0,]4上为减函数．1abab的最小值为174．六．课堂练习：1．11P题32（1）若1,0,0abab，求ab的最值．（2）下列函数中，最小值是2的是（）()A1yxx()Bsincscyxx，(0,)2x七．课堂小结：利用均值不等式求函数的最值时要注意一“正”、二“定”、三“相等”．八．课后作业：1.1112P习题6．2题4-5．2．已知1x，求函数21161xyxxx的最小值，并求相应的x值．3．若1x，则x为何值时11xx有最小值，最小值为多少？4．求224sin()sinyk的最小值．解：2sin(0,1]t4,ytt在(0,1]递减，当1t时取最小值．九．板书设计：6．2算术平均数与几何平均数（2）均值不等式定理回顾⋯⋯⋯⋯例题练习十．本节课外拓展不等式的推广及应用人教版《高中数学第二册》（上）P11第1题证明不等式．利用该不等式可以简捷巧妙地解答其它一些不等式问题．本文简单介绍它的应用及推广，供大家在教学中参考．一、不等式的应用例1.设c是直角三角形斜边的长，两直角边长为a和b,求证证明： 例2.填空：设的最小值为．当且仅当．例3设A、B、C、D为空间中的四点，求证：证明：如图，取BD的中点E，连结AE和EC，则在△ABD和△BCD中，根据中线的性质，有二、不等式的推广及应用不等式可以推广成如下命题：如果：=an时取“=”号）．证明：例4（外森比克不等式）已知三角形的...
