离散数学第二版邓辉文编著第一章第二节习题答案1.2映射的有关概念习题1.21.分别计算⎡1.5⎤，⎡-1⎤，⎡-1.5⎤，⎣1.5⎦，⎣-1⎦，⎣-1.5⎦.解⎡1.5⎤=2，⎡-1⎤=-1，⎡-1.5⎤=-1，⎣1.5⎦=1，⎣-1⎦=-1，⎣-1.5⎦=-2.2.下列映射中，那些是双射?说明理由.(1)f:Z→Z,f(x)=3x.(2)f:Z→N,f(x)=|x|+1.(3)f:R→R,f(x)=x3+1.(4)f:N⨯N→N,f(x1,x2)=x1+x2+1.(5)f:N→N⨯N,f(x)=(x,x+1).解(1)对于任意对x1,x2∈Z，若f(x1)=f(x2)，则3x1=3x2，于是x1=x2，所以f是单射.由于对任意x∈Z，f(x)≠2∈Z，因此f不是满射，进而f不是双射.(2)由于2,-2∈Z且f(2)=f(-2)=3，因此f不是单射.又由于0∈N，而任意x∈Z均有f(x)=|x|+1≠0，于是f不是满射.显然，f不是双射.(3)对于任意对x1,x2∈R，若f(x1)=f(x2)，则x1+1=x2+1，于是x1=x2，所以f是单射.对于任意y∈R，取x=(y-1)，这时1⎡⎤3f(x)=x+1=⎢(y-1)3⎥+1=(y-1)+1=y，⎣⎦33313所以f是满射.进而f是双射.(4)由于(1,2),(2,1)∈N⨯N且(1,2)≠(2,1)，而f(1,2)=f(2,1)=4，因此f不是单射.又由于0∈N，而任意(x1,x2)∈N⨯N均有f(x1,x2)=x1+x2+1≠0，于是f不是满射.显然，f就不是双射.(5)由于x1,x2∈N，若f(x1)=f(x2)，则(x1,x1+1)=(x2,x2+1)，于是x1=x2，因此f是单射.又由于(0,0)∈N⨯N，而任意x∈N均有f(x)=(x,x+1)≠(0,0)，于是f不是满射.因为f不是满射，所以f不是双射.3.对于有限集合A和B，假定f:A→B且|A|=|B|，证明:f是单射的充要条件是f是满射.对于无限集合，上述结论成立吗？举例说明.证(⇒)因为f是单射，所以|A|=|f(A)|.由于|A|=|B|，所以|f(A)|=|B|.又因为B有限且f(A)⊆B，故f(A)=B，即f是满射.(⇐)若f是满射，则f(A)=B.由于|A|=|B|，于是|A|=|f(A)|.又因为A和B是有限集合，因此f是单射.对于无限集合，上述结论不成立.例如f:N→N，f(x)=2x，f是单射，但f不是满射.4.设f:A→B,试证明:(1)fIB=f.(2)IAf=f.特别地，若f:A→A，则fIA=IAf=f.证(1)对于任意x∈A，由于f(x)∈B，所以(fIB)(x)=IB(f(x))=f(x)，因此fIB=f.(2)对于任意x∈A，由于IA(x)=x，所以(IAf)(x)=f(IA(x))=f(x)，于是有IAf=f.由(1)和(2)知，若f:A→A，则fIA=IAf=f.5.试举出一个例子说明ff=f成立，其中f:A→A且f≠IA.若f的逆映射存在，满足条件的f还存在吗?解令A={a,b,c}，f(a)=f(b)=f(c)=a，即对于任意x∈A，f(x)=a，显然f:A→A且f≠IA.而对于任意x∈A，有(ff)(x)=f(f(x))=f(a)=a，因此ff=f.若ff=f且f的逆映射f-1存在，由第3题知ff=f=fIA，所以-1-1于是利用定理7有(ff)f=(ff)IA，f-1(ff)=f-1(fIA)，进而IAf=IAIA，因此f=IA.所以若f的逆映射存在，满足条件的f不存在.6.设f:A→B,g:B→C.若f和g是满射，则fg是满射，试证明.证因为f是满射，所以f(A)=B.又因为g是满射，所以g(B)=C.于是(fg)(A)=g(f(A))=g(B)=C，因此fg是A到C的满射.另证对于任意z∈C，因为g是满射，于是存在y∈B使得g(y)=z.又因为f是满射，存在x∈A使得f(x)=y.因此，(fg)(x)=g(f(x))=g(y)=z，所以fg是A到C的满射.7.设f:A→B,g:B→C.试证明:若fg是单射，则f是单射.试举例说明，这时g不一定是单射.证对于任意x1,x2∈A，假定f(x1)=f(x2)，则显然g(f(x1))=g(f(x2))，即(fg)(x1)=(fg)(x2).因为fg是单射，所以x1=x2，于是f是单射.例如A={a,b}，B={1,2,3}，C={α,β,γ,δ}，令f(a)=1,f(b)=2，g(1)=α,g(2)=β,g(3)=β，则显然有(fg)(a)=g(f(a))=g(1)=α,(fg)(b)=g(f(b))=g(2)=β,于是fg是A到C的单射，但g显然不是单射.8.设f:A→B,若存在g:B→A，使得fg=IA且gf=IB，试证明:f是双射且f-1=g.证因为fg=IA，而IA是单射，所以f是单射.又因为gf=IB，而IB是满射，所以f是满射.因此f是双射.由于f是双射，所以f而(f-1-1存在.因为fg=IA，于是f-1(fg)=f-1IA.f)g=f-1IA且IBg=f-1，所以有f-1=g.9.设f:A→B,g:B→C.若f和g是双射，则fg是双射且(fg)-1=g-1f-1.-1-1证根据定理4(1)(2)知，fg是双射.下证(fg)=gf-1.因为(fg)(g-1f-1)=f(gg-1)f-1=fIBf-1=ff-1=IA，(g-1f-1)(fg)=g-1(f-1f)g=g-1IBg=g-1g=IC，在上面的推导中多次利用了定理7.由第7题知，(fg)-1=g-1f10.设G是集合A到A的所有双射组成的集合，证明(1)任意f,g∈G，有fg∈G.(2)对于任意f,g,h∈G，有(fg...
