第4课时直线与圆锥曲线的位置关系3．中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB的中点，则两式相减可得即．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例1.直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点．(1)当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？(2)当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？解：(1)联立(3－a2)x2－2ax－2＝0①显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足：a∈(－，－)∪(，)若A、B分别在双曲线的两支上，则有：a∈(－，)(2)若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝，x1x2＝．∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1用心爱心专心1典型例题基础过关消去y＝a2·＋a·＋1＝1∵OA⊥OB∴x1x2＋y1y2＝0∴＋1a＝±1此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．例2.已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设的中点弦两端点为，则有关系．又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系．两式相减是：∴∴所求中点弦所在直线为，即．(2)可假定直线存在，而求出的方程为，即方法同(1)，联立方程，消去y,得然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛用心爱心专心2盾说明了满足条件的直线不存在．变式训练2：若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（）A．2B．－2C．D．－解：D例3.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．解法一：设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则∵点在直线上，∴∴，代入，得，即解得解法二：设，关于对称，中点，则相减得：∴，则∵在抛物线内部，∴化简而得，即，解得．变式训练3：设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则.解：8例4.已知椭圆＝1(a为常数，且a>1)，向量＝(1,t)(t>0)，过点A(－a,0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B，直线BO交椭圆于点C（O为坐标原点）．(1)求t表示△ABC的面积S(t)；(2)若a＝2，t∈[,1]，求S(t)的最大值．用心爱心专心3APQFOxy解：(1)直线AB的方程为：y＝t(x＋a)，由得∴y＝0或y＝∴点B的纵坐标为∴S(t)＝S△ABC＝2S△AOB＝|OA|·yB＝(2)当a＝2时，S(t)＝＝∵t∈[，1]，∴4t＋≥2＝4当且仅当4t＝，t＝时，上式等号成立.∴S(t)＝≤＝2即S(t)的最大值S(t)max＝2变式训练4：设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q，且（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）奎屯王新敞新疆A（0，b）知…2分用心爱心专心CAOBxy4设，得……因为点P在椭圆上，所以……整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故椭圆的离心率e＝……⑵由⑴知，于是F（－a，0），Q△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a………所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．用心爱心专心5小结归纳小结归纳
