第3讲导数的综合应用利用导数证明不等式(5年3考)考向1构造函数法(最值法)证明单变量不等式[高考解读]以我们熟知的不等关系，如lnx＜x，lnx＋1≤x，ex≥x＋1等为载体，通过变形或适当重组，形成一道新颖的题目.重在考查学生的等价转化能力，逻辑推理及数学运算的能力.(2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.切入点：(1)当x＞1时，1＜＜x⇔lnx＜x－1＜xlnx；(2)构造函数g(x)＝1＋(c－1)x－cx，借助(2)的讨论求解．[解](1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnx＜x－1，ln＜－1，即1＜＜x.(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc.令g′(x)＝0，解得x0＝.当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.单变量不等式的证明方法(1)移项法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数；(3)最值法：欲证f(x)＜g(x)，有时可以证明f(x)max＜g(x)min.提醒：拆分函数时，ex和lnx尽量分到两个不同的函数中．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．[一题多解](与ex，lnx有关的不等式证明问题)已知函数f(x)＝1－lnx＋a2x2－ax(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a＝0且x∈(0,1)，求证：＋x2－＜1.[解](1)a＝0时，f(x)在(0，＋∞)上递减；a＞0时，f(x)在上递减，在上递增；a＜0时，f(x)在上递减，在上递增．(2)法一：(最值法)若a＝0且x∈(0,1)，欲证＋x2－＜1，只需证＋x2－＜1，即证x(1－lnx)＜(1＋x－x3)ex.设函数g(x)＝x(1－lnx)，则g′(x)＝－lnx.当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，故函数g(x)在(0,1)上单调递增，所以g(x)＜g(1)＝1.设函数h(x)＝(1＋x－x3)ex，则h′(x)＝(2＋x－3x2－x3)ex.设函数p(x)＝2＋x－3x2－x3，则p′(x)＝1－6x－3x2.当x∈(0,1)时，p′(0)·p′(1)＝－8＜0，故存在x0∈(0,1)，使得p′(x0)＝0，从而函数p(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减．当x∈(0，x0)时，p(x0)＞p(0)＝2，当x∈(x0,1)时，p(x0)·p(1)＜－2＜0，故存在x1∈(0,1)，使得h′(x1)＝0，即当x∈(0，x1)时，p(x)＞0，当x∈(x1,1)时，p(x)＜0，从而函数h(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1,1)上单调递减．因为h(0)＝1，h(1)＝e，所以当x∈(0,1)时，h(x)＞h(0)＝1，所以x(1－lnx)＜(1＋x－x3)ex，x∈(0,1)，即＋x2－＜1，x∈(0,1)．法二：(放缩法)若a＝0且x∈(0,1)，欲证＋x2－＜1，只需证＋x2－＜1，即证x(1－lnx)＜(1＋x－x3)ex.设函数g(x)＝x(1－lnx)，则g′(x)＝－lnx，当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，故函数g(x)在(0,1)上单调递增．所以g(x)＜g(1)＝1.设函数h(x)＝(1＋x－x3)ex，x∈(0,1)，因为x∈(0,1)，所以x＞x3，所以1＋x－x3＞1，又1＜ex＜e，所以h(x)＞1，所以g(x)＜1＜h(x)，即原不等式成立．法三：(放缩法)若a＝0且x∈(0,1)，欲证＋x2－＜1，只需证＋x2－＜1，由于1－lnx＞0，ex＞e0＝1，则只需证明1－lnx＋x2－＜1，只需证明lnx－x2＋＞0，令g(x)＝lnx－x2＋，则当x∈(0,1)时，g′(x)＝－2x－＝＜＜0，则函数g(x)在(0,1)上单调递减，则g(x)＞g(1)＝0，所以lnx－x2＋＞0，即原不等式原立．[点评]含“x”的不等式证明,考题第二问出现含x的不等式，往往是对所求证的不等式先进行等价变形，如移项、分解、重组，放缩等手段，化为更加加强的不等式的证明，甚至构造两个系数，其中放缩法比较灵活.①x＞0时，证明：\f(x＋1,ex)1...
