11．2函数极限与连续性一、明确复习目标1．了解函数极限的概念;2．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限;3．了解函数连续的意义;会判断简单函数的连续性;4．理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．二．建构知识网络1．当x→∞时函数f(x)的极限:(1)当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a)(2)同理表示——(3)当,且时,即2．当x→x0时函数f(x)的极限:当自变量x无限趋近于常数x0（从x0两侧,但x≠x0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于x0时,函数f(x)的极限是a,记作,(或x→x0时,f(x)→a)(1)与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。(2)“连续”函数在x0处的极限就等于f(x0)3．函数f(x)的左、右极限:(1)如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)的左极限，记作。(2)同理表示——(3)——判断函数在一点处极限存在的方法．4．极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不确定。5．函数极限的运算法则——(与数列类似)6．对型的极限，要分别通过“约去使分母为零的因式、同除以分子、分母的最高次幂、有理化分子”等变形，转化极限存在的式子再求。7．函数连续的定义:(1)如果①函数f(x)在点x=x0处有定义，②f(x)存在，③f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续．(2)如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数．(3)如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数．8．连续函数的性质——最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值．三、双基题目练练手1．(2006四川)已知下面结论正确的是()A．f(x)在x=1处连续B．f(1)＝5C．D．2．设下列说法不正确的是()A．=1B．=1C．=1D．时f(x)极限不存在3．已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续A．处处连续B．x=1C．x=0D．x=4．(2006广东)5．=______6．要使f(x)=在点x=0处连续，则需补充定义f(0)=______简答:1-3．DCD;3．f（x）=f（x）=f（）．4．;5．;6．f(0)=f（x）===四、经典例题做一做【例1】求下列各极限：（1）（2）（－x）；(3)．（a＞0）解:（1）（2）原式==a+b(3)原式=====提炼方法：1．对于题(1)“”要先除以x的最高次方;题(2)“∞-∞”要先有理化,然后再求极限;2．在题(3)中,当b<0时,f(x)=在x=0处连续,极限值就等于f(0)．当b>0时,f（x）在x0处不连续，x→0时,分母为零,要先有理化,去掉掉分母为零的式子,再求极限．【例2】（1）设f（x）=试确定b的值,使存在．（2）f（x）为多项式,且=1,=5,求f（x）的表达式解:（1）f（x）=（2x+b）=b,f（x）=（1+2x）=2,当且仅当b=2时,f（x）=f（x）,故b=2时,原极限存在（2）由于f（x）是多项式,且=1,∴可设f（x）=4x3+x2+ax+b（a、b为待定系数）又 =5,即（4x2+x+a+）=5,∴a=5,b=0,即f（x）=4x3+x2+5x点评:（1）理解极限的定义和极限存在的条件;（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值．【例3】已知函数f（x）=，试求:（1）f（x）的定义域，并画出图象；（2）求f（x）、f（x）,并指出f（x）是否存在．解:（1）当|x|＞2时，==－1;当|x|＜2时，==1;当x=2时，=0;当x=－2时，不存在．∴f（x）=∴f（x）的定义域为{x|x＜－2或x=2或x＞2}．如下图:（2） f（x）=－1,f（x）=1．∴f（x）不存在．【例4】讨论函数的连续性,并作出函数的图象．分析:应先求出f（x）的解析式，再判断连续性．解:当0≤x＜1时，f（x）=x=x;当x＞1时，f（x）=·x=·x=－x;当x=1时，f（x）=0．∴f（x）= f（x）=（－x）=－1,f（x）=x=1,∴f（x）不存在．∴f（x）在x=1处不连续，f（x）在定义域内的其余点都连续．图象如下图所示．提炼方法:分段函数讨论连续性，要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性．【研讨．欣赏】设f(x)在(a,b...
