第2课时算术平均数与几何平均数例1．设a、bR，试比较，，，的大小．解：∵a、bR+，∴≥2即≤，当且仅当a＝b时等号成立．又≤＝∴≤当且仅当a＝b时等号成立．而≤于是≤≤≤(当且仅当a＝b时取“＝”号)．说明：题中的、、、分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．变式训练1：（1）设，已知命题；命题，则是成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：B.解析：是等号成立的条件用心爱心专心1典型例题基础过关（2）若为△ABC的三条边，且，则（）A．B．C．D．解：D．解析：，又∵∴。（3）设x>0,y>0,,，a与b的大小关系（）A．a>bB．aa2b3+a3b2解：证：(a5+b5)(a2b3+a3b2)=(a5a3b2)+(b5a2b3)=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a2b2)(a3b3)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0又∵ab，∴(ab)2>0∴(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)>0即：a5+b5>a2b3+a3b2变式训练3：比较下列两个数的大小：（1）（2）；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明解：（1）,（2）（3）一般结论：若成立证明欲证成立只需证也就是（）用心爱心专心2从而（*）成立，故例4.甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．(1)试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2)为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解:(1)依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y＝a·＋bv2·＝s(＋bv)，故所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)v∈(0,c)(2)∵s、a、b、v∈R+，故s(＋bv)≥2s当且仅当＝bv时取等号，此时v＝若≤c即v＝时，全程运输成本最小．若>c，则当v∈(0，c)时，y＝s(＋bv)－s(＋bc)＝(c－v)(a－bcv)∵c－v≥0，且a>bc，故有a－bcv≥a－bc2>0∴s(＋bv)≥s(＋bc)，且仅当v＝c时取等号，即v＝c时全程运输成本最小．变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比．另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和．假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元．请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？解：设投入的资金为万元，两种方法所能达到的计算能力为MIPS，则．把，代入上式得，又，当时，代入上式得，由≥得≥，即≥0，用心爱心专心3解得≥900(万元)．答：在投入费用为900万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．用心爱心专心4小结归纳归纳小结
