§10.3二项式定理最新考纲能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})2.二项式系数的性质(1)C＝1，C＝1.C＝C＋C.(2)C＝C.(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.概念方法微思考1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不1一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－kbk是二项展开式的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)(a－b)n的展开式第k＋1项的系数为Can－kbk.(×)(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(×)题组二教材改编2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10答案B解析Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为C·22＝40.3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120答案B解析二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20.4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()A．9B．8C．7D．6答案B解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.题组三易错自纠5．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．CB．CC．CD．(－1)m－1C答案D解析(x－y)n二项展开式第m项的通项公式为Tm＝C(－y)m－1xn－m＋1，所以系数为C(－1)m－1.6．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A．5B．6C．7D．8答案B解析由二项式定理知，an＝C(n＝1,2,3，…，11)．2又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C，则k的最大值为6.7．(2018·海淀模拟)在5的二项展开式中，x3的系数为________．答案10解析因为其通项为Tk＋1＝Cx5－k·k＝2k·C·x5－2k，令5－2k＝3，得k＝1，所以x3的系数为21×C＝10.题型一二项展开式命题点1求指定项(或系数)例1(1)(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35答案C解析因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.因为C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.故选C.(2)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为________．答案160x6解析因为(x2－4)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCx10－2k，令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·Cx6＝160x6.命题点2求参数例2(1)(2018·海口调研)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.B.C．1D．2答案D解析由题意得10的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·k＝Cx10－2k，10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.(2)若6的展开式中常数项为，则实数a的值为()A．±2B.C．－2D．±答案A解析6的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝Ckx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4.故C·4＝，即4＝，解得a＝±2，故选A.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式...
