第3讲导数与函数的极值、最值一、知识梳理1．函数的极值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．[提醒]极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值．常用结论记住两个结论(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．二、习题改编1．(选修11P94例4改编)若函数f(x)＝2x3－x2＋ax＋3在区间(－1，1)内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为()A．(－8，－4)B．[－8，－4)C．(－8，－4]D．(－∞，－8]∪[－4，＋∞)答案：C2．(选修11P99A组T6改编)函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－eB．－1C．－eD．0答案：B一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)导数为零的点不一定是极值点．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的极大值一定是函数的最大值．()(5)开区间上的单调连续函数无最值．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√二、易错纠偏(1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；(2)混淆极值与极值点的概念；(3)连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．1．若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为．解析：函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案：22．函数g(x)＝－x2的极值点是，函数f(x)＝(x－1)3的极值点(填“存在”或“不存在”)．解析：结合函数图象可知g(x)＝－x2的极值点是x＝0.因为f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．答案：0不存在3．函数g(x)＝x2在[1，2]上的最小值和最大值分别是，在(1，2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”)．解析：根据函数的单调性及最值的定义可得．答案：1，4不存在函数的极值问题(多维探究)角度一由图象判断函数的极值已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减B．函数f(x)在x＝2处取得极大值C．函数f(x)在x＝－4处取得极值D．函数f(x)有两个极值点【解析】由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．故选B.【答案】B由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．角度二求已知函数的极值已知函数f(x)＝lnx＋，求函数f(x)的极小值．【解】f′(x)＝－＝(x>0)，当a－...
