高三数学上 16.5《二项式定理》教案（沪教版）VIP免费

二项式定理（一）”教案一、教学目标：使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。二、教学重、难点：重点：二项式定理的推导及证明难点：二项式定理的证明三、教学过程：(一)新课引入：(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3(提问)：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开?(利用多项式乘法)(再提问)：(a+b)100又怎么办？(a+b)n(n∈N+)呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性(二)新课：(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法规律：(a+b)1=a+b(a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4[来源:学_科_网Z_X_X_K]根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项是齐次的，它们分别为an,an-1b,an-2b2,…，bn,展开式中各项系数的规律，可以列表：[来源:学科网ZXXK]810＝(7+1)10＝710+79+…+7+＝2(733＋c133732+…+c3233·7+2(a+b)111(a+b)2121[来源:学§科§网Z§X§X§K](a+b)31331(a+b)414641(a+b)515101051（这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。）如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4即04C种[来源:Zxxk.Com](2)若只有一个括号取b，共有14C种取法得到a3b(3)若只有两个括号取b，共有24C种取法得到a2b2(4)若只有三个括号取b，共有34C种取法得到ab3(5)若每个括号都取b，共有44C种取法得b401C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C…………∴(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+rnCan-rbr+…+nnCbn(n∈N+)[来源:学_科_网]以上我们采用不完全归纳法得到，不一定可靠，若要说明正确，须加以证明(数学归纳法)。证明：(1)当n=1时，左边＝(a+b)1=a+b右边＝01Ca1+11Cb1=a+b∴等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即(a+b)k=0kCak+1kC·ak-1b+…+rkCak-rbr+…kkC·bk那么当n=k+1时(分散难点作法)以(a+b)4(a+b)与(a+b)k(a+b)进行类比(a+b)4(a+b)＝(04Ca4+14Ca3b+24Ca2b2+34Cab3+44Cb4)(a+b)=（04Ca5+14Ca4b+24Ca3b2+34Ca2b3+44Cab4）+（04Ca4b+14Ca3b2+24Ca2b3+34Cab4+44Cb5）由组合数性质知04C＝05C14C＋04C＝15C24C＋14C＝25C34C＋24C＝35C44C＋34C＝45C44C＝55C则(a+b)5=05Ca5+15Ca4b+25Ca3b2+35Ca2b3+45Cab4+55Cb5(a+b)k+1=(a+b)k·(a+b)=(0kCak+1kC·ak-1b+…+rkCak-rbr+…+kkC·bk)(a+b)＝(0kC·ak+1+1kCakb+…+rkCak-r+1br+…+kkCabk)+(0kCakb+1kCak-1b2+…+rkC·ak-rbr+1＋…＋kkC·bk+1)＝0kCak+1+(1kC+0kC)akb+…+(1rkC+rkC)ak-rbr+1+…+(kkC+1kkC)abk+kkC·bk+1由组合数性质得，okC=01kC1kC+okC=11kC，…1rkC+rkC=11rkC，kkC+1kkC=kkC1，kkC=11kkC∴(a+b)k+1=01kCak+1+11kCakb1+…+11kkCak-rbr+1+…+kkC1abk+11kkCbk+1，即等式成立。根据（1）（2）可知，等式对于任意n∈N+都成立。一、指出：这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点：1．项数：共有(n+1)项2．系数：依次为0nC，1nC，2nC，…rnC，…nnC，其中rnC(r＝0，1，2，…n)称为二项式系数说明：二项式系数rnC与展开中某一项系数是有区别的。例如：(1＋2x)6展开式中第3项中系数为26C·22＝60而第三项的二项式系数是26C＝15。3．指数：an-r·br指数和为n，a的指数依次从n递减到0，b的指数依次从0递增到n。三、小结：（1）二项式定理(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+rnCan-rbr+…+nnCbn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明。（2）二项式定理的特点：1．项数2．系数3．指数四、作业