第5讲导数的简单应用导数运算及其几何意义[核心提炼]1．导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a>0)；(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1)．2．导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．[典型例题](1)(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为()A．－3B．2C．－3或2D.(2)已知f(x)＝，g(x)＝(1＋sinx)2，若F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(x)的导函数为________．【解析】(1)设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3lnx的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.故选B.(2)因为f′(x)＝＝＝g′(x)＝2(1＋sinx)(1＋sinx)′＝2cosx＋sin2x，所以F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝＋2cosx＋sin2x.【答案】(1)B(2)＋2cosx＋sin2x利用导数几何意义解题的思路(1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化．(2)以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解．[对点训练]1．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.故填1.答案：12．(2019·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cosπx＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))，则a＋b＝________，直线l的方程为________．1解析：f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsinπx＋b，f(0)＝a，g(1)＝cosπ＋b＝b－1，f′(0)＝a，g′(1)＝b，由题意可得f′(0)＝g′(1)，则a＝b，又f′(0)＝＝a，即a＝b＝－1，则a＋b＝－2；所以直线l的方程为x＋y＋1＝0.答案：－2x＋y＋1＝03．(2019·湖州期末)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.答案：0利用导数研究函数的单调性[核心提炼]1．若求函数的单调区间(或证明单调性)，只要在其定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可．2．若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．[典型例题](1)设函数f(x)＝xe2－x＋ex，求f(x)的单调区间．(2)设f(x)＝ex(lnx－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71828…)若函数f(x)在区间上单调递减，求a的取值范围．【解】(1)因为f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，2故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)由题意可得f′(x)＝ex≤0在上恒成立．因为ex>0，所以只需lnx＋－a≤0，即a≥lnx＋在上恒成立．令g(x)＝lnx＋.因为g′(x)＝－＝，由g′(x)＝0，得x＝1.x(1，e)g′(x)－＋g(x)g＝ln＋e＝e－1，g(e)＝1＋，因为e－1>1＋，所以g(x)max＝g＝e－1.故a≥e－1.求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．[对点训...
