第2讲导数的简单应用与定积分1.(2018·全国Ⅰ卷,理5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f(-1)+f(1)=0,所以-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,所以f'(x)=3x2+1,所以f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.2.(2014·全国Ⅱ卷,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:y'=a-,当x=0时,y'=a-1即是y=2x的斜率,所以a-1=2,所以a=3.故选D.3.(2017·全国Ⅱ卷,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(A)(A)-1(B)-2e-3(C)5e-3(D)1解析:f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·ex-1则f'(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)·ex-1,f'(x)=(x2+x-2)·ex-1,令f'(x)=0,得x=-2或x=1,当x<-2或x>1时,f'(x)>0,当-2
1,则a>.令g(x)=,则g'(x)=.当x∈1,时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈,+∞时,g'(x)>0,g(x)为增函数,要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)0,g(x)为增函数,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)≤a时,+2kπ,+2kπ,k∈Z,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=+2kπ,k∈Z,sinx=-,cosx=,f(x)有最小值.又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),所以f(x)min=2×-×1+=-.答案:-8.(2018·全国Ⅰ卷,理21)已知函数f(x)=-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:2,令f'(x)=0得,x=或x=.当x∈0,∪,+∞时,f'(x)<0;当x∈,时,f'(x)>0.所以f(x)在0,,,+∞上单调递减,在,上单调递增.(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于=--1+a=-2+a=-2+a,所以0,a∈R,存在x0使得f(x0)≤成立,则实数a的值为....
