主题3不等式、推理与证明1．不等式的性质及解法求解不等式问题的2个易错点(1)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论．(2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．1．已知a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是()A．a＋＞b＋B．a＋＞b＋C.＞D.＞abA[因为a＞b＞0，所以＜，根据不等式的性质可得a＋＞b＋，故A正确；对于选项B，取a＝1，b＝，则a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋＞b＋不成立；根据不等式的性质可得＜，故C错误；取a＝2，b＝1，可知D错误．]2．若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，－2)C．(－2,2)D．(－2,2]D[不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0恒成立的条件：当a＝2时，－4＜0恒成立；当a≠2时，解得－2＜a＜2.故－2＜a≤2，选D.]3．若关于x的不等式x2－ax＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a的取值范围为()A.B.C.D.A[令f(x)＝x2－ax＋1，由题意可得解得2≤a＜.]4．若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．[由ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝.将不等式ax2＋bx－a＞0两边同时除以a，得x2＋x－＜0，所以x2＋x－＜0，即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax2＋bx－a＞0的解集为.]5．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围是________．[－5，＋∞)[由题意得，a≥－，设f(x)＝－，x∈(0,1]，则只要a≥f(x)max，由于函数f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝－5，故a≥－5.]2．简单的线性规划问题解决线性规划问题的2个易错点(1)忽视目标函数中y的系数的正负，而由直线截距的最值确定目标函数的最值．如T1，T4.(2)求解含参数的线性规划问题，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．如T2.1．已知x，y满足则z＝8－x·y的最小值为()A．1B.C.D.D[可行域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·y＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由图知当x＝1，y＝2时，－3x－y的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为.故选D.]2．实数x，y满足若z＝kx－y的最大值为13，则实数k＝()A.或8B.或C.D．8C[由不等式组可得可行域为由点A(2,0)，B(2,3)，C(4,4)构成的三角形内部及其边界，如图所示．若k≥2，可得当x＝4，y＝4时，z有最大值，得4k－4＝13，解得k＝；若0＜k＜2，可得当x＝2，y＝0时，z有最大值，得2k＝13，不合题意；若k≤0，可得当x＝2，y＝0时，z有最大值，得2k＝13，不合题意．故k＝，选C.]3．某中学生在制作纸模过程中需要A，B两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A，B两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A，B两种规格的小卡纸分别为4块、7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m，n(m，n为整数)，则m＋n的最小值为()A规格B规格甲种卡纸21乙种卡纸13A.2B．3C．4D．5B[由题意知又不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数z＝m＋n在点(1,2)处取得最小值3，故选B.]4．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．9[作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.]5．若实数x，y满足则z＝的取值范围为________．(－∞，－2]∪[点(x，y)表示的是以点O(0,0)，A(4,0)，B(0,2)为顶点的三角形的内部及其边界，如图所示．目标函数z＝是区域内的点(x，y)与点Q(1，－2)连线的斜率．易知kQA＝＝，kQO＝＝－2，kQB＝＝－4，分析可知，z＝的取值范围为(－∞，－2]∪.]3．基本不等式应用基本不等式的2个易错点(1)运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”指...
