空间向量及运算复习教案【考试要求】1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘2．了解空间向量的基本定理。3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质。【基础知识】一、基本概念向量：在空间具有大小和方向的量。相等向量：大小相等，方向相同的向量。平行向量或共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合。二、空间向量加、减法及数乘运算1．ABOAOBbaOBOABA)(RaOP2、运算律：abba)()(cbacbababa三、基本定理1、共线向量基本定理：对空间任意两个向量，babba//),0(,的充要条件是存在唯一实数，使ba。2、共线向量基本定理如果两个向量ba,不共线，则向量p与向量ba,共面的充要条件是存在实数对(x,y),使.byaxp推论1空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对（yx,）使MByMAxMP，或对空间任一定点O,有MByMAxOMOP①在平面MAB内，点P对应的实数对（yx,）是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表示式。推论2对空间任一点O和不共线的三点CBA,,，满足向量关系式OCzOByOAxOP(其中zyx=1)的CBAP,,,四点共面（当且仅当zyx=1时）。两推论的作用:证明四点共面3.空间向量的基本定理如果三个向量cba,,不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组zyx,,，使czbyaxp。用心爱心专心如果三个向量cba,,不公面，那么所有空间所组成的集合就是﹛Rzyxczbyaxpp、、,/﹜，这个集合可看作是由cba、、向量生成的，所以我们把｛cba,,｝叫做空间的一个基低，cba、、都叫做基向量，（zyx、、）叫做p对基底｛cba、、｝下的坐标。推论设CBAO、、、是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数zyx,,使OCzOByOAxOP。四、两向量的数量积1、空间两向量的夹角如图，已知两个非零向量ba,，在空间任取一点O，作bOBaOA,，则角AOB叫做ba与的夹角，记作ba,。ba,0，并且abba,,2、ba,=2则称ba与互相垂直，并记作ba。3．已知空间两个向量b，a,则︱a︱︱b︳bacos叫做向量ba,的数量积，记作ba。即ba=︱a︱︱b︳bacos。4、性质：①eaaea,cos②0baba③aaa2④bababa,cos5、运算律①baba②abba③cabacba【基础训练】1.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB.其中真命题的个数是.2.下列是真命题的命题序号是.①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量②若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反③若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD④若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD3.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则OE=用心爱心专心(用a,b,c表示).4.已知向量a,b满足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=37，则a与b的夹角为.5.如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF=（AB+DC），则=【典型列题】一、空间向量的基本运算例1如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1AA=a，AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1）AP；（2）NA1；（3）MP+1NC.二、应用空间向量证明线面关系、求空间角和距离例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：E、F、G、H四点共面；（2）求证：BD∥平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM=41（OA+OB+OC+OD）.例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值.三、空间向量的综合运用例4如图，已知平行六面体ABCD--1111DCBA的底面ABCD是菱形，且CDCCBC11060BCD当1CCCD的值为多少时，能使BDCAC11平面？请给出证明。例5在平行六在面体ABCD--1111DCBA中...
