第4课时直线和平面垂直4．点到平面距离过一点作平面的垂线叫做点到平面的距离．5．直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时，这条直线上到这个平面的距离叫做直线到平面距离．例1.OA、OB、OC两两互相垂直，G为ABC的垂心．求证：OG平面ABC．证明：∵OA、OB、OC两两互相垂直∵OA⊥平面OBC∴OA⊥BC又G为△ABC的垂心∴AG⊥BC,∴BC⊥面OAG∴BC⊥OG同理可证：AC⊥OG又BC∩AC＝C∴OG⊥平面ABC(1)求证：MN⊥CD；(2)若PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．证明：(1)连AC取中点O，连NO、MO，并且MO交CD于R∵N为PC中点∴NO为△PAC的中位线NO∥PA而PA⊥平面ABCD∴NO⊥平面ABCD∴MN在平面ABCD的射影为MO，又ABCD是矩形M为AB中点，O为AC中点∴MO⊥CD∴CD⊥MN(2)连NR，则∠NRM＝45°＝∠PDA又O为MR的中点，且NO⊥MR用心爱心专心1基础过关典型例题BACOGPMBCDAN∴△MNR为等腰三角形且∠NRM＝∠NMR＝45°∴∠MNR＝90°∴MN⊥NR又MN⊥CD∴MN⊥平面PCD变式训练2：PD垂直于平面ABCD所在平面，PB⊥AC，PA⊥AB．求证：①ABCD是正方形；②PC⊥BC．证明：略例3．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．(1)求证：EF⊥平面PAB；(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．(1)证明：连结EP．∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD中，∴PD⊥DE，又CE＝ED，PD＝AD＝BC，∴Rt△BCE≌Rt△PDE，∴PE＝BE∵F为PB中点，∴EF⊥PB．由垂线定理得PA⊥AB，∴在Rt△PAB中，PF＝AF，又PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA．∵PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF⊥平面PAB．(2)解：不防设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝．∴△PAB为等腰直角三角形．且PB＝2，Ｆ是其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB．∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直．∴PB⊥平面AEF．连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF．∠GAH为AC与平面AEF所成的角．由△EGC∽△BGA可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝．由△EGH∽△BGF可知GH＝BF＝∴sin∠GAH＝∴AC与面AEF所成的角为arcsin．变式训练3：如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BAD＝BDC＝90°，AB＝AD＝3，BC＝2CD．求：(1)求AC的长；(2)求证：平面ABC⊥平面ACD；(3)求D点到平面ABC的距离d．解：(1)(2)略．用心爱心专心ABDC2PDABCFE(3)因VA－DBC＝(DC×BD)×OA＝6，又VD－ABC＝(AB×AC)×d＝d，VA－BCD＝VD－ABC，则d＝6，解得d＝.例4：如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；(2)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；(3)求点P到平面ABD1的距离．答案：(1)∠APB＝arctan(2)AP在面AC上的射影为AC又AC⊥BD∴PA⊥BD而BD∥B1D1∴B1D1⊥AP而B1D1在平面D1AP上的射影为D1H∴D1H⊥AP(3)面ABD1⊥面BC1过P作PM⊥BC1于M则PM＝变式训练4：三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H．(1)求证H是△ABC的垂心；(2)．(1)证明：连结AH交BC于D点，连接CH交AB于E点，∵VA⊥VB，VA⊥VC，VB∩VC＝V，∴VA⊥VBC面，又BCVBC面，∴BC⊥VA．∵VH⊥ABC面，BCABC面，∴BC⊥VH，又VA∩VH＝A，∴BC⊥VHA面．又ADVHA面，∴AD⊥BC，同理可得CE⊥AB，∴H是△ABC的垂心．(2)连接VE，在Rt△VEC中，VE2＝EH×ECAB2×VE2＝AB2×EH×EC，即．线面垂直的判定方法：(1)线面垂直的定义；(2)判定定理；用心爱心专心VEHACBD3A1C1D1ABCDPHOB1小结归纳(3)面面垂直的性质；(4)面面平行的性质：若∥，a⊥则a⊥用心爱心专心4用心爱心专心5
