高考数一轮复习 第三章 第六节 正弦定理和余弦定理突破热点题型 文VIP免费

考点一利用正、余弦定理解三角形[例1](1)(2013·天津高考)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝()A.B.C.D.(2)(·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.(3)(·浙江高考)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.[自主解答](1)由余弦定理可得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝.再由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝.(2)由3sinA＝5sinB，可得3a＝5b，又b＋c＝2a，所以可令a＝5t(t>0)，则b＝3t，c＝7t，可得cosC＝＝＝－，又C∈(0，π)，故C＝.(3)在△ABM中，由正弦定理得＝＝，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，所以a＝，整理得(3a2－2c2)2＝0，＝，故sin∠BAC＝＝.[答案](1)C(2)(3)【方法规律】正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则∠B＝()A.B.C.D.解析：选A由正弦定理得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，∴sinBsin(A＋C)＝sinB.又 sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，即sinB＝，∴B＝或.又 a＞b，∴A＞B，∴B＝.2．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5解析：选D由23cos2A＋cos2A＝0，得25cos2A＝1，因为A为锐角，所以cosA＝.又由a2＝b2＋c2－2bccosA，得49＝b2＋36－b，整理得5b2－12b－65＝0，解得b＝－(舍)或b＝5.即b＝5.考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状[例2]在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[自主解答](1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，又0＜c＜π，所以A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝.因为0＜B＜，0＜C＜，故B＝C＝，所以△ABC是等腰钝角三角形．【互动探究】若将本例(2)“中的条件改为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，试判断△ABC的形状．解： (a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰或直角三角形【方法规律】判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选A依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和及互补角的意义，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以A＝.即△ABC为直角三角形.高频考点考点三与三角形面积有关的问题1．正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形．[例3](1)(·新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为()A．2＋2B.＋1C．2－2D.－1(2)(·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.①求角A的大小；②若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．[自主解答](1)由正...