三角恒等变换060520VIP专享VIP免费

三角恒等变换一、整体定位恒等变换在数学中扮演着重要的角色，它的主要作用是化简。在数学中，通过恒等变换，可以把复杂的关系用简单的形式表示出来。因此，恒等变换是数学学习中的基本功之一。三角恒等变形在后续学习中需要用到。例如，求三角函数的导数、积分都需要用到。这些内容在高中数学课程中是不要求的。三角函数中有许多恒等关系，这些关系大体上可分为三类。第一类是三角函数本身蕴涵的恒等关系。如，对于正弦函数，有sinx=sin(x+2k)，sin(-x)=-sinx,sin(2-x)=-sinx,sin(-x)=sinx,sin(+x)=-sinx,等诱导公式。这些恒等关系反映了正弦函数的周期性、奇偶性等性质。第二类是边角关系中蕴涵的恒等关系。如，，，这些恒等关系反映了边角之间的联系以及同角的不同三角函数之间的联系。第三类是三角函数运算中蕴涵的恒等关系。如，，等，这些恒等关系反映了sinx,cosx,siny,cosy与sin(x+y)、cos(x+y)之间的联系。三角恒等变换问题基本上属于第三类恒等关系。在高中数学课程中，三角恒等变换的的出发点是：，，。三角恒等变换的逻辑体系是：首先，利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。当x,y都是锐角时，直接利用数量积可以证明，这比综合几何方法要简洁，突出了向量的作用；对于一般的情况，则需要分类讨论。然后，以，，作为出发点，利用以及诱导公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式；利用以及上述两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式；再利用以及上述公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。最后，利用上述公式推导出积化和差、和差化积、以及半角的正弦、余弦、正切公式（不要求记忆），进行一些简单的恒等变换。上述内容是高中数学课程中所要求的三角恒等变换的所有内容。值得注意的是，三角恒等变换这部分内容与三角函数没有直接的关系。因此，学生学习三角函数后，可以先学习平面向量，再学习三角恒等变换。高中数学课程中对三角恒等变换的定位主要是两个方面。一是通过从一些基本公式出发推导出其它公式，体会演绎推理的作用以及三角恒等关系的逻辑体系。二是对学生进行恒等变形的训练。因此，在三角恒等变换的教学中，恒等变换的公式基本范围是：由两角差的余弦公式出发，推导出两角和余弦、两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，积化和差、和差化积、半角公式。以此作为三角恒等变换的基本训练。本部分教学应特别注意避免在三角恒等变换的教学中“深挖洞”。二、课程标准要求三角恒等变换（8课时）（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。三、知识要求及变化（1）两角差的余弦公式课标表述课标要求具体化相应大纲要求①两角差的余弦公式经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。课标要求具体体现在引导学生学会提出问题，学会探索，学会构造，学会推理，学会完善上，总之是逐步培养学生的逻辑推理能力，让他们学会怎样学习。因此，在引导学生用数量积推导两角差的余弦公式时，可按下列四步来实现课标要求：①提出问题，激发兴趣，问题1：由是否能求出？问题2：能否用、的三角函数值表示？等式是否成立？②探索分析，验算知；③温故知新，构造创新，回顾求角的余弦的三角函数线方法或向量方法（数量积公式），数形结合作出单位圆中的相关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备；④推理完掌握两角差的余弦公式，通过公式的推导，了解它的内在联系，从而培养逻辑推理能力。2善，在这个过程中不仅要用分类讨论的思想，还要用到诱导公式。与后续学习的逻辑关系：两角差的余弦公式的推导中用到的数形结合思想、向量方法和探索、分析、推理、完善的思维习惯，几乎贯穿整个高中数学课程的学习过程，如在后面解析几何中直线与圆锥曲线的学习和立体几何中空间向量方法的应用。高中课程不要求的：在原高中课...