【创新设计】-学年高中数学2.4.1函数的零点活页练习新人教B版必修11．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()．A．－，－1B.，1C.，－1D．－，1解析方程2x2－3x＋1＝0的根为x1＝1，x2＝.答案B2．函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数为()．A．0B．1C．2D．3解析令f(x)＝0即x3－2x2＋2x＝0，得x(x2－2x＋2)＝0∵x2－2x＋2＝0无解，∴x＝0，零点为0.答案B3．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为()．A．2B．－2C．±2D．不存在解析由Δ＝b2－4＝0得b＝±2.答案C4．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝________，b＝________.解析2和－4是方程x2＋ax＋b＝0的根，∴a＝2，b＝－8.答案2－85．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0∞，＋)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析由题意知f(－2)＝0，∴f(2)＝0，又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0.又f(x)在(0∞，＋)上是增函数，∴零点有三个分别为－2,0,2.答案306．已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1.(1)m为何值时，函数的图象与x轴有两个交点；(2)如果函数的一个零点在原点，求m的值．解(1)函数图象与x轴有两个交点，则：，解得：m>且m≠1.(2)0是函数的一个零点，∴f(0)＝0，∴2m－1＝0，∴m＝.7．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为()．A．1B．2C．0D．不能确定解析f(1)＝a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0，即函数的零点有2个．答案B8．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()．A．0，－B．0，C．0,2D．2，－解析由f(2)＝0，即2a＋b＝0，得b＝－2a，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－.答案A9．二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a的取值范围是________．解析由于二次函数图象开口向上，则只需f(1)<0.即－a<0，∴a>0.答案(0∞，＋)10．函数f(x)＝的零点为________．解析令x2＋2x－3＝0，得：x1＝1，x2＝－3，又x≤0，∴x＝－3是函数的一个零点，由－2＋x2＝0得x＝±.又x>0，∴x＝为函数的零点．答案－3，11．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．解(1)当m＋6＝0时，函数为y＝－14x－5显然有零点；当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－.∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．综上，m≤－.(2)设x1、x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－，x1x2＝.∵＋＝－4，即＝－4，∴－＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m的值为－3.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x3－4x，(1)求函数的零点并画出函数的草图；(2)解不等式xf(x)<0.解(1)因为x3－4x＝x(x－2)(x＋2)，所以所给函数的零点为0，－2,2，3个零点把x轴分成4个区间：(∞－，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2∞，＋)，由于f(－3)＝－15，f(－1)＝3，f(1)＝－3，f(3)＝15.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的草图如图所示．(2)不等式xf(x)<0同解于或，结合函数图象得不等式的解集为(0,2)∪(－2,0)．
